Étude théorique et numérique de la stabilité de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique

Theoretical and numerical study of the stability of some distributed systems with dynamic boundary control

• Auteur / Autrice : Mohamad Ali Sammoury
• Direction : Serge Nicaise, Ali Wehbe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/12/2016
• Etablissement(s) : Valenciennes en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021) - Laboratoire de Mathématiques (Hadath, Liban)
• Partenaire(s) de recherche : Communauté d'Universités et Etablissements (ComUE) : Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (2009-2013)
• Jury : Président / Présidente : Hassan Ibrahim
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Nicaise, Ali Wehbe, Abdellatif El Badia, Louis Roder Tcheugoué Tébou, Michel Mehrenberger, Denis Mercier, Ahmad Fino
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Abdellatif El Badia, Louis Roder Tcheugoué Tébou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Spectroscopie

Développements asymptotiques

Équations d'onde

Mots clés libres

Contrôle frontière dynamique

Non stabilité exponentielle

Stabilité polynomiale

Optimalité

Etude spectrale

Méthode fréquentielle

Base de Riesz

Méthode des multiplicateurs

Inégalité d’observabilité

Comportement asymptotique

Fonction de transfère

Semi discrétisation

Terme de viscosité.

Dynamic boundary control

Non exponential stability

Polynomial stability

Optimality

Spectral analysis

Frequency domain method

Riesz basis

Multiplier method

Observability inequality

Asymptotic behavior

Transfer function

Semi-Discretization

Viscosity terms.

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité.

This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme.