Étude théorique et numérique de la stabilité de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique

par Mohamad Ali Sammoury

Thèse de doctorat en Mathématiques. Mathématiques appliquées

Sous la direction de Serge Nicaise et de Ali Wehbe.

Soutenue le 08-12-2016

à Valenciennes en cotutelle avec l'Université Libanaise , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes (2006-2021) (laboratoire) , Communauté d'universités et d'établissements Lille Nord de France (Communauté d'Universités et Etablissements (ComUE)) et de Laboratoire de Mathématiques (Hadath, Liban) (laboratoire) .

Le président du jury était Hassan Ibrahim.

Le jury était composé de Serge Nicaise, Ali Wehbe, Abdellatif El Badia, Louis Roder Tcheugoué Tébou, Michel Mehrenberger, Denis Mercier, Ahmad Fino.

Les rapporteurs étaient Abdellatif El Badia, Louis Roder Tcheugoué Tébou.

mots clés

• Contrôle frontière dynamique
• Non stabilité exponentielle
• Stabilité polynomiale
• Optimalité
• Etude spectrale
• Méthode fréquentielle
• Base de Riesz
• Méthode des multiplicateurs
• Inégalité d’observabilité
• Comportement asymptotique
• Fonction de transfère
• Semi discrétisation
• Terme de viscosité.
• Équations d'onde
• Développements asymptotiques
• Spectroscopie

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de la stabilisation de certains systèmes distribués avec contrôle frontière de type dynamique. Nous considérons, d’abord, la stabilisation de l’équation de la poutre de Rayleigh avec un seul contrôle frontière dynamique moment ou force. Nous montrons que le système n’est pas uniformément (autrement dit exponentiellement) stable; mais par une méthode spectrale, nous établissons le taux polynomial optimal de décroissance de l’énergie du système. Ensuite, nous étudions la stabilisation indirecte de l’équation des ondes avec un amortissement frontière de type dynamique fractionnel. Nous montrons que le taux de décroissance de l’énergie dépend de la nature géométrique du domaine. En utilisant la méthode fréquentielle et une méthode spectrale, nous montrons la non stabilité exponentielle et nous établissons, plusieurs résultats de stabilité polynomiale. Enfin, nous considérons l’approximation de l’équation des ondes mono-dimensionnelle avec un seul amortissement frontière de type dynamique par un schéma de différence finie. Par une méthode spectrale, nous montrons que l’énergie discrétisée ne décroit pas uniformément (par rapport au pas du maillage) polynomialement vers zéro comme l’énergie du système continu. Nous introduisons, alors, un terme de viscosité numérique et nous montrons la décroissance polynomiale uniforme de l’énergie de notre schéma discret avec ce terme de viscosité.

mots clés

• Dynamic boundary control
• Non exponential stability
• Polynomial stability
• Optimality
• Spectral analysis
• Frequency domain method
• Riesz basis
• Multiplier method
• Observability inequality
• Asymptotic behavior
• Transfer function
• Semi-Discretization
• Viscosity terms.

Titre traduit

Theoretical and numerical study of the stability of some distributed systems with dynamic boundary control

Résumé

This thesis is devoted to the study of the stabilization of some distributed systems with dynamic boundary control. First, we consider the stabilization of the Rayleigh beam equation with only one dynamic boundary control moment or force. We show that the system is not uniformly (exponentially) stable. However, using a spectral method, we establish the optimal polynomial decay rate of the energy of the system. Next, we study the indirect stability of the wave equation with a fractional dynamic boundary control. We show that the decay rate of the energy depends on the nature of the geometry of the domain. Using a frequency approach and a spectral method, we show the non exponential stability of the system and we establish, different polynomial stability results. Finally, we consider the finite difference space discretization of the 1-d wave equation with dynamic boundary control. First, using a spectral approach, we show that the polynomial decay of the discretized energy is not uniform with respect to the mesh size, as the energy of the continuous system. Next, we introduce a viscosity term and we establish the uniform (with respect to the mesh size) polynomial energy decay of our discrete scheme.