Développement asymptotique des sommes harmoniques
Auteur / Autrice : | Văn Chiến Bùi |
Direction : | Gérard Duchamp, Vincel Hoang Ngoc Minh |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Informatique |
Date : | Soutenance le 09/12/2016 |
Etablissement(s) : | Sorbonne Paris Cité |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) |
Partenaire(s) de recherche : | établissement de préparation : Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....) |
Laboratoire : Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord / LIPN | |
Jury : | Président / Présidente : Daniel Barsky |
Examinateurs / Examinatrices : Sylvie Paycha, Christophe Tollu, Joris van der Hoeven | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Jacky Cresson, Loïc Foissy |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
En abordant les nombres spéciaux comme les sommes harmoniques ou les polyzêtassous leur aspect combinatoire, nous introduisons d’abord la définition d’un produitentre mots, dit produit de quasi-mélange q-déformé, une généralisation des produits demélange et de quasi-mélange, ce qui nous permet de construire des structures complètesd’algèbre de Hopf en dualité. En même temps, nous construisons des bases en dualité,contenant des bases de transcendance associées aux mots de Lyndon, et des formules explicitessur lesquelles les sommes harmoniques, les polyzêtas ou les polylogarithmes sontindexés et représentés par la factorisation de la série génératrice noncommutative diagonale.De cette façon, nous déterminons des développements asymptotiques des sommesharmoniques, indexées par ces bases, grâce à leur série génératrice et à la formule d’EulerMaclaurin. Nous établissons également une équation de liaison sur les polyzêtas, quiapparaissent comme les parties finies des développements asymptotiques des sommesharmoniques et des polylogarithmes, reliant entre elles deux structures algébriques. Enidentifiant les coordonnées locales de cette équation, nous trouvons des relations polynomialeshomogènes, en poids, entre les polyzêtas. Pour accompagner cette étude théorique,nous proposons des algorithmes et un package en Maple afin de calculer des bases, lastructure des polyzêtas et des développements asymptotiques des sommes harmoniques.