Derived analytic geometry

par Mauro Porta

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bruno Klingler et de Gabriele Vezzosi.

Soutenue en 2016

à Sorbonne Paris Cité en cotutelle avec l'Università degli Studi di Firenze , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019) (autre partenaire) .

Le président du jury était François Loeser.

Le jury était composé de Marco Manetti, Bertrand Toën, Angelo Vistoli.

Les rapporteurs étaient Jacob Lurie, Carlos Simpson.

mots clés

• GAGA dérivé
• Théorème de réprésentabilité analytique
• Théorème de Grauert
• Théorie de la déformation analytique
• Complexe cotangent analytique
• Géométrie algébrique
• Espaces de Berkovich

Titre traduit

Géométie analytique dérivée

Résumé

Dans cette thèse on extend ultérieurement les fondations de la géométrie analytique complexe proposées par J. Lurie dans DAG IX. En plus, on montre que ses idées peuvent être utilisées pour développer une théorie des espaces analytiques non-archimédiens dérivés. Les motivations arrivent de la théorie de Hodge nonabelienne et de la symétrie miroir. Les résultats principaux contiennent les généralisations du théorème de Grauert et des théorèmes GAGA pour les champs analytiques dérivés (et donc en particulier pour les orbifolds complexes et les analogues analytiques des champs d'Artin). On étudie en détail la théorie de la déformation analytique, et on développe le complexe cotangent analytique et ses propriétés de base. Finalement, on obtient une version analytique du théorème de représentabilité de Lurie. Pendant toute la thèse, on utilise le langage des infini catégorie.

Résumé

In this thesis we extend further the foundations of derived C-analytic geometry proposed by J. Lurie in DAG IX. Moreover, we show that his ideas can be used to develop a theory of derived non-archimdean spaces. Motivations are coming from nonabelian Hodge theory and from mirror symmetry. Among the main results there are generalizations of Grauert theorem and GAGA theorems for derived analytic stacks (including C-analytic orbifolds and analytic analogues of Artin stacks). We extensively study analytic deformation theory, including the analytic cotangent complex and its basic properties. Finally, we obtain an analytic version of Lurie's representability theorem. We use the language of infinity categories throughout the whole thesis.