= Directed polymers in random media : integrable systems, stochastic orders

• Auteur / Autrice : Vu-Lan Nguyen
• Direction : Francis Comets
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Marches aléatoires (mathématiques)

Physique statistique

Théorie de la localisation

Systèmes intégrables

Ordres stochastiques

Polymères

Mots clés libres

RSK correspondance

KPZ universalité

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de polymère dirigé en milieu aléatoire. Le polymère dirigé en milieu aléatoire modélise une longue chaine de molécules qui interagit avec un environnement inhomogène, il est considéré depuis longtemps dans la littérature de la physique statistique. Une de questions importantes est de comprendre le comportement du polymère dans un environnement typique : la localisation des trajectoires autour un tube typique. Une question fortement liée s'agit d'étudier la fluctuation de l'énergie libre. On considère dans cette thèse le modèle polymère dirigé avec Log-Gamma distribution proposé par Seppallainen. Dans ce modèle, l'énergie libre est calculable en fonction des paramètres et les fluctuations présentent des exposants non-standard. Jusqu'à maintenant, c'est encore toujours une question ouvert to calculer les corrélations entre les fonctions partitions et aussi établir la distribution asymptotique du end-point du polymère. Cette thèse, parmi autre travaux, présente une approche à ces questions.

The thesis focuses on (mostly 1 + 1 dimensional) directed polymers in random media. These are classical and celebrated models in the statistical mechanics of disordered systems and describe a one dimensional interface interacting with a d + 1-dimensional random environment where it is immersed. A very important question is to understand, in the limit where the polymer's length tends to infinity and for a typical realization of the environment, the geometric properties of the polymer: typical transversal displacement of the endpoint and its fluctuations, polymer localization at strong disorder around typical tubes determined by disorder. . . A strictly related problem of great interest is to study the fluctuations of the free energy. The main focus is on the so-called log-gamma polymer. This model, introduced by Seppalainen, is obtained by making a specific choice for the disorder law: the random variables are inverse Gamma variables. For this specific disorder choice, he proved that the variance of the log of the partition function is of order N''2/3, as expected by KPZ theory. This was refined into a full limit theorem Tracy -Widom type fluctuations) by Corwin, O'Connell, Seppalainen and Zygouras, via an explicit formula for the Laplace transform of a single partition function. It was until now an open problem to compute correlations between partition functions with different end-points and to study the asymptotic distribution of the polymer's endpoint. The present thesis addresses, among others, these two very challenging problems. On the other hand, we consider applications of stochastic orders on the study of directed polymer and disordered systems.