Analogues du théorème de Brauer-Siegel pour quelques familles de courbes elliptiques

Analogues of the Brauer-Siegel theorem for some families of elliptic curves

• Auteur / Autrice : Richard Griffon
• Direction : Marc Hindry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions L

Néron, Modèles de

Corps finis

Équations différentielles -- Théorie asymptotique

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Théorème de Brauer-Siegel

Groupe de Tate-Shafarevich

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'arithmétique des courbes elliptiques E sur les corps de fonctions K en caractéristique p>0. Plus particulièrement, nous étudions le comportement asymptotique de leur ratio de Brauer-Siegel BS(E/K). Cet invariant compare à la hauteur différentielle exponentielle de E/K, le produit de son régulateur de Néron-Tate par l'ordre de son groupe de Tate-Shafarevich (que l'on suppose fini). Le ratio BS(E/K) est défini par analogie avec la quantité apparaissant dans le théorème éponyme pour les corps de nombres. Nous démontrons que BS(E/K) tend (inconditionnellement) vers 1 lorsque E/K parcourt une de cinq familles explicites. En d'autres termes, ces familles vérifient un analogue "complet" du théorème de Brauer-Siegel. Pour prouver cet analogue, nous exprimons les fonctions L des courbes elliptiques concernées en termes de sommes de caractères sur les corps fmis. Puis, via la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, nous relions le ratio de Brauer-Siegel à la "valeur spéciale" L*(E/K, 1) de la fonction L en s=1 (pour les cinq familles étudiées, cette conjecture a été montrée par D. Ulmer, T. Shioda,. . . ). Reste alors à encadrer la taille de L*(E/K, 1) : la majoration est aisée, mais la minoration requiert des estimations plus délicates. Nous développons donc quelques outils adaptés : nous exprimons la valuation q-adique d'un produit de nombres algébriques (associés aux sommes de Jacobi) et démontrons un résultat d'équidistribution en moyenne des sous-groupes de (Z/dZ)*. Nous obtenons également quelques résultats auxiliaires sur le rang de Mordell-Weil, la torsion et le nombre de Tamagawa des courbes étudiées.

This thesis is devoted to the study of the arithmetic of elliptic curves E over function fields K in characteristic p>0 More precisely, we study the asymptotic behavious of their Brauer-Siegel ratio, denoted by BS(E/K). This invariant compares the product of its Néron-Tate regulator by the order of its Tate-Shafarevich group (assumed to be finite), to the differential height of E/K. The ratio BS(E/K) is defined in analogy with the quantity appearing in the classical Brauer-Siegel theorem for number fields. We prove that BS(E/K) has limit 1 (unconditionally) when E/K runs through one of five explicit families of elliptic curves. In other terms, those families satisfy a complete analogue of the Brauer-Siegel theorem. To prove such an analogue, we start by expressing the L-function of the relevant elliptic curves in terms of character sums over finite fields. Then, via the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we link BS(E/K) to the "special value" L*(E/K, 1) of the L-function at s=1 (for the five families we study, this conjecture has been proved by D. Ulmer, T. Shioda,. . . ). It then remains to bound the size of L*(E/K, 1) : a good upper bound is easily proved, but the lower bound we require is more subtle. We thus develop tools to prove it : we express the q-adic valuation of a product of algebraic numbers (associated to Jacobi sums) and we prove an average equidistribution result for subgroups of (Z/dZ)*. We also obtain several auxiliary results on the Mordell-Weil rank, the torsion and the Tamagawa number of the elliptic curves we consider.