Algebraic structures for the lambda calculus and the propositional logic

• Auteur / Autrice : Giordano Favro
• Direction : Antonio Bucciarelli, Antonino Salibra
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité en cotutelle avec Università Ca' Foscari Venezia (Venise, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Logique algébrique

Lambda-calcul

Mots clés libres

Termes muets

Graph easy termes

Factor algebras

Résumé

Partie I. Parmi les termes non résolubles du lambda-calcul, les termes muets sont ceux dont le ''degré d'indéfini'' est maximum. Pour chaque nombre naturel n > 1, nous introduisons deux ensembles infinis et récursifs de lambda-termes, mn et gn. Nous appelons leurs éléments ''termes muets réguliers restreints'' et ''termes muets réguliers'', respectivement, et nous prouvons qu'il s'agit bien de termes muets. Nous prouvons ensuite que les ensembles mn sont ''graph easy'': pour chaque terme clos T du lambda-calcul, il existe un modèle de graphe qui égalise t et tout les éléments de mn. Partie II. Nous introduisons les ''factor algebras of first-order type'', qui peuvent être utilisés pour algébriser la notion de structure du premier ordre et de formule ouverte. Nous analysons les propriétés algébriques de base des ''factor algebras of first order type'' en utilisant la notion de ''splitting pair''. En nous appuyant sur le fait que la logique propositionnelle est une logique du premier ordre sur un type particulier tcl , nous développons un nouveau calcul algébrique pour la logique propositionnelle : ses régles sont les axiomes de la variété des ''factor algebras'' du type tcl. Nous présentons un sistéme de réécriture confluent et terminant pour ce calcul.

Part I. Among the unsolvable terms of the lambda calculus, the mute ones are those having the highest degree of undefinedness. For each natural number n > 1, we introduce two infinite and recursive sets mn and gn. Their elements are called restricted regular mute and regular mute terms respectively. They are defined inductively and we prove that they are mute. Furthermore, we show that sets mn are graph-easy for any n : for any closed term t there exists a graph model equating all the terms of mn to t. We also provide a brief survey of the notion of undefinedness in lambda-calculus. Part II. We introduce factor algebras of first-order type and show that they can be used to provide an algebraic counterpart of ordinary first-order structures. We show that this translation can be extended to open formulas and equations between terms. By considering that propositional logic is a first-order logic on a particular type tcl , a new algebraic calculus for propositional logic is developed. Rules for the calculus are the axioms of the variety generated by the factor algebras of type tcl. We also provide a confluent and terminating term rewriting system for such calculus. Furthermore, we study the basic algebraic properties of factor algebras of first¬order type through the notion of splitting pair.