Estimation non-paramétrique adaptative pour des modèles bruités

Nonparametric adaptive estimation in measurement error models

• Auteur / Autrice : Gwennaëlle Mabon
• Direction : Fabienne Comte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 26/05/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Descartes (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5 / MAP5
• Jury : Président / Présidente : Alexandre B. Tsybakov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabienne Comte, Alexandre B. Tsybakov, Jean-Michel Loubès, Markus Reiß, Sylvain Arlot, Agathe Guilloux, Vincent Rivoirard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Loubès, Markus Reiß

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convolutions (mathématiques)

Mathématiques

Mots clés libres

Modèles de convolution

Modèles de durées

Modèles mixtes

Estimation non-paramétrique

Estimation adaptative

Estimation par projection

Sélection de modèles

Méthodes de Goldenshluger et Lepski

Agrégation

Vitesses optimales minimax

Convolution models

Duration models

Mixed models

Nonparametric estimation

Adaptive estimation

Projection estimators

Model selection

Goldenshluger and Lepski method

Aggregation

Minimax optimal rates

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème d'estimation de densité dans le modèle de convolution. Ce cadre correspond aux modèles avec erreurs de mesures additives, c'est-à-dire que nous observons une version bruitée de la variable d'intérêt. Pour mener notre étude, nous adoptons le point de vue de l'estimation non-paramétrique adaptative qui repose sur des procédures de sélection de modèle développées par Birgé & Massart ou sur les méthodes de Lepski. Cette thèse se divise en deux parties. La première développe des méthodes spécifiques d'estimation adaptative quand les variables d'intérêt et les erreurs sont des variables aléatoires positives. Ainsi nous proposons des estimateurs adaptatifs de la densité ou encore de la fonction de survie dans ce modèle, puis de fonctionnelles linéaires de la densité cible. Enfin nous suggérons une procédure d'agrégation linéaire. La deuxième partie traite de l'estimation adaptative de densité dans le modèle de convolution lorsque la loi des erreurs est inconnue. Dans ce cadre il est supposé qu'un échantillon préliminaire du bruit est disponible ou que les observations sont disponibles sous forme de données répétées. Les résultats obtenus pour des données répétées dans le modèle de convolution permettent d'élargir cette méthodologie au cadre des modèles linéaires mixtes. Enfin cette méthode est encore appliquée à l'estimation de la densité de somme de variables aléatoires observées avec du bruit.

In this thesis, we are interested in nonparametric adaptive estimation problems of density in the convolution model. This framework matches additive measurement error models, which means we observe a noisy version of the random variable of interest. To carry out our study, we follow the paradigm of model selection developped by Birgé & Massart or criterion based on Lepski's method. The thesis is divided into two parts. In the first one, the main goal is to build adaptive estimators in the convolution model when both random variables of interest and errors are distributed on the nonnegative real line. Thus we propose adaptive estimators of the density along with the survival function, then of linear functionals of the target density. This part ends with a linear density aggregation procedure. The second part of the thesis deals with adaptive estimation of density in the convolution model when the distribution is unknown and distributed on the real line. To make this problem identifiable, we assume we have at hand either a preliminary sample of the noise or we observe repeated data. So, we can derive adaptive estimation with mild assumptions on the noise distribution. This methodology is then applied to linear mixed models and to the problem of density estimation of the sum of random variables when the latter are observed with an additive noise.