Etude de l'équation harmonique dans un ouvert avec des conditions non linéaires de flux au bord

Study of the harmonic equation in an open with nonlinear flux boundary conditions

• Auteur / Autrice : Youssouf Oussama Boukarabila
• Direction : Laurent Véron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2016
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Souplet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Luc Molinet, Emmanuel Humbert
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Otared Kavian, Mohammed Guedda

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bessel, Fonctions de

Lie, Dérivées de

Singularités (mathématiques)

Problèmes aux limites non linéaires

Fonctions exponentielles

Radon, Mesures de

Fonctions harmoniques

Mots clés libres

Équation harmonique

Mesures de Radon

Singularités (mathématiques)

Singularité éliminable

Dérivation de Lie

Noyau de Bessel

Mesure de Haussdorff

Résumé

L’objectif principal de cette thèse est divisée en deux parties. La première partie est consacrée à l’étude du problème, { −Δu + u = 0 dans Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ sur ∂Ω, (0.1) où Ω est un ouvert régulier borné de ℝᴺ, g(·) est une fonction continue qui vérifie la condition du signe s · g(s) ≥ 0, dans certains modèles on ajoute l’hypothèse g(·) croissante, et finalement μ est une mesure bornée sur ∂Ω. Certains de nos résultats sont valables lorsque Ω := ℝᴺ+ . On commencera par montrer l’existence de solution de (0.1) lorsque μ est une fonction de L1(∂Ω), et cela sans ajouter une hypothèse supplémentaire sur g(·). Puis, on étudiera (0.1) lorsque μ est une mesure de Radon sur ∂Ω, dans ce contexte, le problème (0.1) pourra ne pas admettre une solution, et des conditions apparaissent sur g(·) et sur μ pour assurer l’existence d’une solution. On montrera l’existence de solutions lorsque, g(·) est une non-linéarité sous-critique en dimension N supérieure ou égale à trois, et lorsque g(·) satisfait l’hypothèse de singularité faible sur le bord en dimension N égale à deux (voir Chapitre 2 pour définitions).

The main aim of this thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the problem, { −Δu + u = 0 in Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ on ∂Ω, (0.3) where Ω is a bounded regular domain of ℝᴺ, g(·) is a continuous function that satisfies the sign condition s · g(s) ≥ 0, in some model case we will assume that g(·) is increassing, and finally μ is a bounded measure on ∂Ω. Some of our results remain true when Ω := ℝᴺ+ . We will start by proving the existence of a solution of (0.3) when μ is an L1(∂Ω) function, and this independently of the nonlinearity g(·) that satisfies the previous hypothesis. Then, we will study (0.3) when μ is a Radon measure on ∂Ω. In such a context, some new conditions appear on g(·) and μ that assure the existence of a solution. We will prove the existence of a solution when g(·) is a sub-critical nonlinearity in dimension N larger or equal to three, and when g satisfies the weak singularity assumption on the boundary in case N equals two (see Chapter 2 for the definitions).