Thèse soutenue

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Auteur / Autrice : Yuriy Nemish
Direction : Mireille CapitaineMichel Ledoux
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2016
Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de produits de matrices aléatoires. Les origines de la théoriespectrale de matrices aléatoires remontent aux années 1920 où elle fut introduite par Wishart clans. Le contexte de la statistique multivariée. Ce domaine est par la suite devenu populaire dans les communautés mathématique et physique grâce aux travaux remarquables de Wigner, Dyson, Gaudin, Mehta etc. Jusqu'à présent, les matrices symétriques,largement utilisées dans divers domaines de la science moderne, constituaient l'un des principaux objets d'investigation,dans la théorie des matrices aléatoires. Néanmoins force est de constater un intérêt croissant pour l'étude des propriétés spectrales de matrices aléatoires non-herrnitiennes qui trouvent applications en analyse combinatoire, physique statistique,chromodynamlque quantique etc. Dans cette thèse nous considérons des produits de matrices aléatoires non-hermitiennes,et nous nous intéressons à leurs propriétés spectrales à l'échelle mésoscopique. Nous commençons la première partie de l'introduction par un bref aperçu historique du développement de la théorie des matrices aléatoires (RMT). Nous introduisons ensuite les modèles qui apparaissent plus tard dans cette thèse et lesproblèmes typiques en RMT. Puis nous décrivons les outils et méthodes utilisés pour étudier le comportement limite des valeurs propres de matrices aléatoires (méthode des moments, méthode de la résolvante; polynômes orthogonaux), et analysons l'approche qui serait la plus appropriée pour nos modèles. Nous présentons également un résultat récent de laloi locale pour les matrices aléatoires non-hermitiennes par Bourgade, Y au et Yin, qui est l'une des sources principalesd'inspiration pour notre étude, et décrivons la relation entre notre travail et d'autres résultats récents en RMT. Dans la deuxième partie, nous considérons le problème d'existence d"'outliers11 dans le spectre du produit de matricesaléatoires non-hermitiennes avec entrées indépendantes. Nous montrons que presque sûrement le rayon spectral convergevers 1, ce qui signifie qu'il n'y a pas d'outliers à l'extérieur du support de la mesure spectrale empirique limite. Notrepreuve est basée sur l'approche développée par Bai et Silverstein, qui permet d'obtenir des informations sur les outliers enutilisant les propriétés de la transformée de Stieltjes de la mesure spectrale empirique. Après l'application de techniquesbien connues de linéarisation et hermitisation, la preuve est réduite à l'analyse de la matrice résolvante sur une régionparticulière du plan complexe, qui est effectuée selon la stratégie proposée par Bourgade, Y au et Yin. Dans la dernière partie, nous démontrons la loi locale pour les produits de matrices aléatoires non-hermitiennes; ceciconstitue le résultat le plus important obtenu dans cette thèse. Après linéarisation et hermitisation, nous utilisons' l'idéeélaborée dans une série d'articles par Erd6s et al. Que la rigidité des valeurs propres (et donc la loi locale) peut êtredéduite à partir des propriétés de la matrice résolvante. L'analyse de la résolvante nous amène à l'étude d'un systèmed'équations (self-consistent equations). La stabilité de ce système, établie dans cette thèse, implique la convergence dela transformée de Stieltjes sur une région où la partie imaginaire du paramètre résolvant est très petite. Cela garantitque la loi locale est valable jusqu'à l'échelle optimale