Deux exemples de propagation de fronts de réaction-diffusion en milieu hétérogène

Two examples of reaction-diffusion front propagation in heterogeneous media

• Auteur / Autrice : Antoine Pauthier
• Direction : Henri Berestycki, Jean-Michel Roquejoffre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 20/06/2016
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes -- Propagation

Équations de réaction-diffusion

Mots clés libres

Réaction-diffusion

Vitesse

Echanges non locaux

Front de transition

Propagation

Reaction-diffusion

Speed

Nonlocal exchanges

Transition fronts

Propagation

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude de deux exemples de propagation pour des équations de réaction-diffusion hétérogènes.Le but de la première partie est de déterminer quels sont les effets d'échanges non locaux entre une ligne de diffusion rapide et un environnement bidimensionnel dans lequel a lieu un phénomène de réaction-diffusion de type KPP usuel. Dans le premier chapitre nous étudions comment ce couplage non local entre la ligne et le plan accélère la propagation dans la direction de la ligne ; on détermine aussi comment différentes fonctions d'échanges maximisent ou non la vitesse d'invasion. Le deuxième chapitre est consacré à la limite singulière de termes d'échanges qui convergent vers des masses de Dirac. On montre alors que la dynamique converge avec une certaine uniformité. Dans le troisième chapitre nous étudions la limite d'échanges étalés à l'infini. Ils permettent de donner un infimum sur la vitesse de propagation pour ce type de modèle qui peut cependant être supérieure à la vitesse KPP usuelle.La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude de solutions entières (ou éternelles) pour des équations bistables hétérogènes. On considère un domaine bidimensionnel infini dans une direction, borné dans l'autre, qui converge vers un cylindre quand x tend vers moins l'infini. On montre alors l'existence d'une solution entière dans un tel domaine qui est égal à l'onde bistable en t tend vers moins l'infini. Cela nous conduit à étudier un modèle unidimensionnel avec un terme de réaction hétérogène, pour lequel on obtient le même résultat.

The aim of this thesis is to study two examples of propagation phenomena in heterogeneous reaction-diffusion equations.The purpose of the first part is to understand the effect of nonlocal exchanges between a line of fast diffusion and a two dimensional environment in which reaction-diffusion of KPP type occurs. The initial model was introduced in 2013 by Berestycki, Roquejoffre, and Rossi. In the first chapter we investigate how the nonlocal coupling between the line and the plane enhances the spreading in the direction of the line; we also investigate how different exchange functions may maximize or not the spreading speed.The second chapter is concerned with the singular limit of nonlocal exchanges that tend to Dirac masses. We show the convergence of the dynamics in a rather strong sense. In the third chapter we study the limit of long range exchanges with constant mass. It gives an infimum for the asymptotic speed of spreading for these models that still could be bigger than the usual KPP spreading speed.The second part of this thesis is concerned with entire solutions for heterogeneous bistable equations.We consider a two dimensional domain infinite in one direction, bounded in the other, that converges to a cylinder as x goes to minus infinity. We prove the existence of an entire solution in such a domain which is the bistable wave for t tends to minus infinity. It also lead us to investigate a one dimensional model with a non-homogeneous reaction term,for which we prove the same property.