Le problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère complexes

The dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations

• Auteur / Autrice : Mohamad Charabati
• Direction : Ahmed Zeriahi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 14/01/2016
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dirichlet, Problème de

Monge-Ampère, Équations de

Mots clés libres

Problème de Dirichlet

Opérateur de Monge-Ampère

Mesure de Hausdorff-Riesz

Fonction m-sousharmonique

Opérateur hessien

Capacité

Module de continuité

Principe de comparaison

Théorème de stabilité

Domaine strictement hyperconvexe lipschitzien

Domaine strictement m-pseudoconvexe

Dirichlet problem

Monge-Ampère operator

Hausdorff-Riesz measure

M-subharmonic function

Hessian operator

Capacity

Modulus of continuity

Comparison principle

Stability theorem

Strongly hyperconvex Lipschitz domain

Strongly m-pseudoconvex domain

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord.

In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary.