Théorèmes du type Ingham et fonctions orthogonales positives

par Florian Delage

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vilmos Komornik.

Soutenue le 22-09-2016

à Strasbourg , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) , en partenariat avec Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) (laboratoire) .

Le président du jury était Alain Haraux.

Le jury était composé de Michel Mehrenberger.

Les rapporteurs étaient Ammar Farid Khodja, Paola Loreti.

mots clés

• Théorème d’Ingham
• Oscillations
• Fonctions pseudo-périodiques
• Contrôle
• Équations différentielles fonctionnelles -- Oscillations
• Fonctions orthogonales
• Analyse harmonique (mathématiques)
• Fourier, Séries de

Résumé

Le travail de la thèse est constitué de deux parties indépendantes traitant toutes les deux du comportement de solutions d’équations différentielles partielles. On s’intéressera dans un premier temps aux fonctions orthogonales positives à certains espaces puis à quelques résultats de type « Ingham ». L’existence ou non de fonctions orthogonales positives à certains espaces de fonctions quasi-périodiques a d’importantes implications, en particulier pour l’étude du comportement oscillatoire des solutions d’équations de membranes vibrantes. On se propose ici de clarifier la situation d’un sous-espace défini par trois périodes et de donner des pistes de réflexion pour le cas de quatre périodes ou plus. On peut utiliser les séries de Fourier non harmoniques pour résoudre certains problèmes de contrôle en utilisant des variantes du théorème d’Ingham. On s’intéressera spécifiquement ici aux problèmes que pose la version vectorielle de ce théorème.

mots clés

• Ingham theorem
• Oscillations
• Almost periodical functions
• Control theory

Titre traduit

Ingham type theorem and positive orthogonal functions

Résumé

The existence or non-existence of positive orthogonal functions for subspaces of almost periodical function has important applications in studying the oscillatory behavior of vibrations. Cazenave, Haraux and Komornik have obtained many theorems of this type. The purpose of this work is to answer an open question formulated in the 1980’s, and to completely clarify the situation for subspaces defined by three periods. We also give some results for subspaces defined by more periods than three periods. We also prove some vectorial result for Ingham type theorems.