Développement et utilisation de méthodes asymptotiques d'ordre élevé pour la résolution de problèmes de diffraction inverse.

On the development and use of higher-order asymptotics for solving inverse scattering problems.

• Auteur / Autrice : Rémi Cornaggia
• Direction : Marc Bonnet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 29/09/2016
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE) en cotutelle avec University of Minnesota
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau). Unité de Mathématiques Appliquées - Unité de Mathématiques Appliquées / ENSTA ParisTech UMA - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation / POEMS
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Jury : Président / Présidente : Josselin Garnier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Bonnet, Bojan B. Guzina, Vaughan R. Voller, Stefano Gonella
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Drossos Gintides, Dominique Leguillon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Diffraction

Méthode asymptotique numérique

Mots clés libres

Derivée topologique

Valeurs propres de tranmission

Méthodes asymptotiques

Diffraction inverse

Élastodynamique

Homogénéisation

Topological derivative

Transmission eigenvalues

Asymptotic methods

Inverse scattering

Elastodynamics

Homogenization

Résumé

L'objectif de ce travail fut le développement de nouvelles méthodes pour aborder certains problèmes inverses en élasticité, en tirant parti de la présence d'un petit paramètre dans ces problèmes pour construire des approximation asymptotiques d'ordre élevé. La première partie est consacrée à l'identification de la taille et la position d'une inhomogénéité Bᵗʳᵘᵉ enfouie dans un domaine élastique tridimensionnel. Nous nous concentrons sur l'étude de fonctions-coûts ��(Bₐ) quantifiant l'écart entre Bᵗʳᵘᵉ et une hétérogénéité ``test'' Bₐ. Une telle fonction-coût peut en effet être minimisée par rapport à tout ou partie des caractéristiques de l'inclusion ``test'' Bₐ (position, taille, propriétés mécaniques ...) pour établir la meilleure correspondance possible entre Bₐ et Bᵗʳᵘᵉ. A cet effet, nous produisons un développement asymptotique de �� en la taille a de Bₐ, qui en constitue une approximation polynomiale plus aisée à minimiser. Ce développement, établi jusqu'à l'ordre O(a⁶), est justifié par une estimation du résidu. Une méthode d'identification adaptée est ensuite présentée et illustrée par des exemples numériques portant sur des obstacles de formes simples dans l'espace libre ℝ³.L'objet de la seconde partie est de caractériser une inclusion microstructurée de longueur L, modélisée en une dimension, composée de couches de deux matériaux alternés périodiquement, en supposant que les plus basses de ses fréquences propres de transmission (TEs) sont connues. Ces fréquences sont les valeurs propres d'un problème dit de transmission intérieur (ITP). Afin de disposer d'un modèle propice à l'inversion, tout en prenant en compte les effets de la microstructure, nous nous reposons sur des approximations de l'ITP exact obtenues par homogénéisation. A partir du modèle homogénéisé d'ordre 0, nous établissons tout d'abord une méthode simple pour déterminer les paramètres macroscopiques (L et contrastes matériaux)d'une telle inclusion. Pour avoir accès à la période de la microstructure, nous nous intéressons ensuite à des modèles homogénéisés d'ordre élevé, pour lesquels nous soulignons le besoin de conditions aux limites adaptées.

The purpose of this work was to develop new methods to address inverse problems in elasticity,taking advantage of the presence of a small parameter in the considered problems by means of higher-order asymptoticexpansions.The first part is dedicated to the localization and size identification of a buried inhomogeneity Bᵗʳᵘᵉ in a 3Delastic domain. In this goal, we focused on the study of functionals ��(Bₐ) quantifying the misfit between Bᵗʳᵘᵉ and a trial homogeneity Bₐ. Such functionals are to be minimized w.r.t. some or all the characteristics of the trial inclusion Bₐ (location, size, mechanical properties ...) to find the best agreement with Bᵗʳᵘᵉ. To this end, we produced an expansion of �� with respect to the size a of Bₐ, providing a polynomial approximation easier to minimize. This expansion, established up to O(a⁶) in a volume integral equations framework, is justified by an estimate of the residual. A suited identification procedure is then given and supported by numerical illustrations for simple obstacles in full-space ℝ³.The main purpose of this second part is to characterize a microstructured two-phases layered1D inclusion of length L, supposing we already know its low-frequency transmission eigenvalues (TEs). Those are computed as the eigen values of the so-called interior transmission problem (ITP). To provide a convenient invertible model, while accounting for the microstructure effects, we then relied on homogenized approximations of the exact ITP for the periodic inclusion. Focusing on the leading-order homogenized ITP, we first provide a straightforward method tore cover the macroscopic parameters (L and material contrast) of such inclusion. To access to the period of themicrostructure, higher-order homogenization is finally addressed, with emphasis on the need for suitable boundary conditions.