Modélisation et étude mathématique de réseaux de câbles électriques

Mathematical modeling of electrical networks

• Auteur / Autrice : Geoffrey Beck
• Direction : Patrick Joly, Sébastien Imperiale
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 31/03/2016
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1741 -....) - Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1741 -....)
• Jury : Président / Présidente : Marius Tucsnak
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrick Joly, Sébastien Imperiale, María Dolores GóMEZ PEDREIRA, Jean-Frédéric Gerbeau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Grigori Panassenko, Clair Poignard

Mots clés

Mots clés libres

Analyse asymptotique

Equation aux dérivées partielles

Equation des ondes

Développements asymptotique raccordées

Réseaux électriques

Equation des télégraphistes

Asymptotic analysis

Partial differential equations

Waves equation

Matched asymptotics

Electrical networks

Telegraphers equation

Résumé

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels.

This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.