Théorie des groupes approximatifs et ses applications

Theory of approximate groups and its applications

• Auteur / Autrice : Arindam Biswas
• Direction : Emmanuel Breuillard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 20/12/2016
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Alain Plagne
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Breuillard, Andrzej Zuk, Florent Jouve, Romain Tessera
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Tom Sanders, Andrzej Zuk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des ensembles approximatifs

Groupes simples finis

Combinatoire additive

Mots clés libres

Groupes approximatifs

Diamètre d'un groupe fini

Graphe de Cayley

Combinatoire additive

Boucles des moufang

Approximate groups

Diameter of finite groups

Cayley graph

Additive combinatorics

Moufang loops

Résumé

Dans la premier partie de cette thèse, nous étudions la structure des sous-groupes approximatifs dans les groupes metabéliens (groupes résolubles de classe de résolubilité 2) et montrons que si A est un tel sous-groupe K approximatif, il est K⁰(r) contrôlée (au sens du Tao) par un groupe nilpotent où r désigne le rang de G=Fit(G) et Fit(G) est le sous-groupe de fitting de G. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la croissance des ensembles dans GLn(Fq) où Fq est un corps fini. Nous montrons une borne sur le diamètre (par rapport à n'importe quel système des générateurs) pour tous sous-groupes simples finis de ce groupe. Si G est un groupe fini simple de type Lie de rang n, et son corps de base est de taille borné, le diamètre du graphe du Cayley Gamma (G;S) serait borné par exp (O(n(log n)³)). Si la taille du corps fini Fq n'est pas borné, notre méthode donne une borne de q^{O(n(log nq)³) pour le diamètre.Dans la troisième partie nous nous sommes intéressés à la croissance des ensembles dans les boucles de Moufang commutatifs. Ceux-ci sont les boucles commutatifs respectant les identités de Moufang mais sans être (nécessairement) associatifs. Nous montrons que, si les tailles des ensembles des associateurs sont bornées alors la croissance des sous-structures approximatifs dans ces boucles est similaire à celle des groupes ordinaires. De cette façon dans le cadre des boucles de moufang commutatifs finiment engendré on a un théorème de structure pour ses sous-boucles approximatifs.Mots-clefs -sous-groupes approximatifs, groupes résolubles, diamètres des groupes, boucles de moufang commutatifs.

In the first part of this thesis, we study the structure of approximate subgroups inside metabelian groups (solvable groups of derived length 2) and show that if A is such a K-approximate subgroup, then it is K^(O(r)) controlled (in the sense of Tao) by a nilpotent group where r denotes the rank of G=Fit(G) and Fit(G) is the fitting subgroup of G.The second part is devoted to the study of growth of sets inside GLn(Fq) , where we show a bound on the diameter (with respect to any set of generators) for all finite simple subgroups of this group. What we have is - if G is a finite simple group of Lie type with rank n, and its base field has bounded size, then the diameter of the Cayley graph C(G;S) would be bounded by exp(O(n(logn)³)). If the size of the base field Fq is not bounded then our method gives a bound of q^(O(n(log nq)³)) for the diameter.In the third part we are interested in the growth of sets inside commutative Moufang loops which are commutative loops respecting the moufang identities but without (necessarily)being associative. For them we show that if the sizes of the associator sets are bounded then the growth of approximate substructures inside these loops is similar to those in ordinary groups. In this way for the subclass of finitely generated commutative moufang loops we have a classification theorem of its approximate subloops.