Non Parametric Mixture Models and Hidden Markov Models : Asymptotic Behaviour of the Posterior Distribution and Efficiency

Modèles de mélange et de Markov caché non-paramétriques : propriétés asymptotiques de la loi a posteriori et efficacité

• Auteur / Autrice : Elodie, Edith Vernet
• Direction : Elisabeth Gassiat, Judith Rousseau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 15/11/2016
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Catherine Matias
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elisabeth Gassiat, Judith Rousseau, Catherine Matias, Éric Moulines, Richard Nickl, Randal Douc, Ismaël Castillo
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Éric Moulines, Richard Nickl

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique non paramétrique

Markov, Processus de

Statistique mathématique -- Théorie asymptotique

Statistique bayésienne

Mots clés libres

Statistiques asymptotiques

Chaines de Markov cachés

Modèle de mélange

Statistique non paramétriques

Statistiques Bayésienne

Asymptotic statistics

Hidden Markov model

Mixture model

Non parametrics

Bayesian statistics

Résumé

Les modèles latents sont très utilisés en pratique, comme en génomique, économétrie, reconnaissance de parole... Comme la modélisation paramétrique des densités d’émission, c’est-à-dire les lois d’une observation sachant l’état latent, peut conduire à de mauvais résultats en pratique, un récent intérêt pour les modèles latents non paramétriques est apparu dans les applications. Or ces modèles ont peu été étudiés en théorie. Dans cette thèse je me suis intéressée aux propriétés asymptotiques des estimateurs (dans le cas fréquentiste) et de la loi a posteriori (dans le cadre Bayésien) dans deux modèles latents particuliers : les modèles de Markov caché et les modèles de mélange. J’ai tout d’abord étudié la concentration de la loi a posteriori dans les modèles non paramétriques de Markov caché. Plus précisément, j’ai étudié la consistance puis la vitesse de concentration de la loi a posteriori. Enfin je me suis intéressée à l’estimation efficace du paramètre de mélange dans les modèles semi paramétriques de mélange.

Latent models have been widely used in diverse fields such as speech recognition, genomics, econometrics. Because parametric modeling of emission distributions, that is the distributions of an observation given the latent state, may lead to poor results in practice, in particular for clustering purposes, recent interest in using non parametric latent models appeared in applications. Yet little thoughts have been given to theory in this framework. During my PhD I have been interested in the asymptotic behaviour of estimators (in the frequentist case) and the posterior distribution (in the Bayesian case) in two particuliar non parametric latent models: hidden Markov models and mixture models. I have first studied the concentration of the posterior distribution in non parametric hidden Markov models. More precisely, I have considered posterior consistency and posterior concentration rates. Finally, I have been interested in efficient estimation of the mixture parameter in semi parametric mixture models.