Limites adiabatiques, fibrations holomorphes plates et théorème de R.R.G.

Adiabatic limits, holomorphic flat fibrations and R.R.G. theorem

• Auteur / Autrice : Yeping Zhang
• Direction : Jean-Michel Bismut
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 21/09/2016
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Benoît Bost
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Bismut, Jean-Benoît Bost, Jochen Brüning, Xiaonan Ma, Werner Müller, Gérard Freixas i Montplet, Ken-ichi Yoshikawa
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jochen Brüning, Xiaonan Ma

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrice S, Théorie de la

Noyau de la chaleur

Torsion, Théorie de la (algèbre)

Chern, Classes de

Théorèmes d'indices

Mots clés libres

Théorème de l'indice

Caractéristique de Chern

Torsion analytique

Théorie de la diffusion

Index theorem

Chern characters

Analytic torsion

Scattering theory

Résumé

Cette thèse est faite de deux parties. La première partie est un article rédigé conjointementavec Martin Puchol et Jialin Zhu. La deuxième partie est une série de résultats obtenus par moi-même liés au théorème de Riemann-Roch-Grothendieck pour les fibrés vectoriels plats. Dans la première partie, nous donnons une preuve analytique d'un résultat décrivant le comportement de la torsion analytique en théorie de de Rham lorsque la variété considérée est séparée en deux par une hypersurface. Plus précisément, nous donnons une formule liant la torsion analytique de la variété entière aux torsions analytiques associées aux variétés à bord avec des conditions limites relative ou absolue le long de l'hypersurface. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous raffinons les résultats de Bismut-Lott pour les images directes des fibrés vectoriels plats au cas où le fibré vectoriel plat en question est lui-même la cohomologie holomorphe d'un fibré vectoriel le long d'une fibration plate à fibres complexes. Dans ce contexte, nous donnons une formule de Riemann-Roch-Grothendieck dans laquelle la classe de Todd du fibré tangent relatif apparaît explicitement. En remplaçant les classes de cohomologie par des formes explicites qui les représentent en théorie de Chern-Weil, nous généralisons ainsi des constructions de Bismut-Lott.

This thesis consists of two parts. The first part is an article written jointly with Martin Puchol and Jialin Zhu, the second part is a series of results obtained by myself in connection with the Riemann-Roch-Grothendieck theorem for flat vector bundles. In the first part, we give an analytic approach to the behavior of classical Ray-Singer analytic torsion in de Rham theory when a manifold is separated along a hypersurface. More precisely, we give a formula relating the analytic torsion of the full manifold, and the analytic torsion associated with relative or absolute boundary conditions along the hypersurface. In the second part of this thesis, we refine the results of Bismut-Lott on direct images of flat vector bundles to the case where the considered flat vector bundle is itself the fiberwise holomorphic cohomology of a vector bundle along a flat fibration by complex manifolds. In this context, we give a formula of Riemann-Roch-Grothendieck in which the Todd class of the relative holomorphic tangent bundle appears explicitly. By replacing cohomology classes by explicit differential forms in Chern-Weil theory, we extend the constructions of Bismut-Lott in this context.