Thèse soutenue

Limites adiabatiques, fibrations holomorphes plates et théorème de R.R.G.
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Auteur / Autrice : Yeping Zhang
Direction : Jean-Michel Bismut
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 21/09/2016
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
Jury : Président / Présidente : Jean-Benoît Bost
Examinateurs / Examinatrices : Jean-Michel Bismut, Jean-Benoît Bost, Jochen Brüning, Xiaonan Ma, Werner Müller, Gérard Freixas i Montplet, Ken-ichi Yoshikawa
Rapporteurs / Rapporteuses : Jochen Brüning, Xiaonan Ma

Résumé

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Cette thèse est faite de deux parties. La première partie est un article rédigé conjointementavec Martin Puchol et Jialin Zhu. La deuxième partie est une série de résultats obtenus par moi-même liés au théorème de Riemann-Roch-Grothendieck pour les fibrés vectoriels plats. Dans la première partie, nous donnons une preuve analytique d'un résultat décrivant le comportement de la torsion analytique en théorie de de Rham lorsque la variété considérée est séparée en deux par une hypersurface. Plus précisément, nous donnons une formule liant la torsion analytique de la variété entière aux torsions analytiques associées aux variétés à bord avec des conditions limites relative ou absolue le long de l'hypersurface. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous raffinons les résultats de Bismut-Lott pour les images directes des fibrés vectoriels plats au cas où le fibré vectoriel plat en question est lui-même la cohomologie holomorphe d'un fibré vectoriel le long d'une fibration plate à fibres complexes. Dans ce contexte, nous donnons une formule de Riemann-Roch-Grothendieck dans laquelle la classe de Todd du fibré tangent relatif apparaît explicitement. En remplaçant les classes de cohomologie par des formes explicites qui les représentent en théorie de Chern-Weil, nous généralisons ainsi des constructions de Bismut-Lott.