Méthodes éléments finis de type MsFEM pour des problèmes d'advection-diffusion

Multiscale finite element methods for advection-diffusion problems

• Auteur / Autrice : François Madiot
• Direction : Claude Le Bris, Frédéric Legoll
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2016
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique / CERMICS - Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique / CERMICS
• Jury : Président / Présidente : Yalchin Efendiev
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Le Bris, Frédéric Legoll, Jérôme Droniou, Anne Nicolas
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ulrich Hetmaniuk, Alexei Lozinski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Équations différentielles

Éléments finis, Méthode des

Mots clés libres

Homogénéisation

Méthodes multiéchelles

Convection dominante

Homogenization

Multiscale methods

Convection-Dominated problems

Résumé

Ce travail a porté principalement sur le développement et l'étude de méthodes numériques de type éléments finis multi-échelles pour un problème d'advection diffusion multi-échelles dominé par l'advection. Deux types d'approches sont envisagées: prendre en compte l'advection dans la construction de l'espace d'approximation, ou appliquer une méthode de stabilisation. On commence par l'étude d'un problème d'advection diffusion, dominé par l'advection, dans un milieu hétérogène. On poursuit sur des problèmes d'advection-diffusion, sous le régime où l'advection domine, posés dans un domaine perforé. On se focalise ici sur la condition aux bords de type Crouzeix Raviart pour la construction des éléments finis multi-échelles. On considère deux situations différentes selon la condition prescrite au bord des perforations: la condition de Dirichlet homogène ou la condition de Neumann homogène. Cette étude repose sur une hypothèse de coercivité.Pour finir, on se place dans un cadre général où l'opérateur d'advection-diffusion est non coercif, possiblement dominé par l'advection. On propose une approche éléments finis basée sur une mesure invariante associée à l'opérateur adjoint. Cette approche est bien posée inconditionnellement en la taille du maillage. On la compare numériquement à une méthode standard de stabilisation

This work essentially deals with the development and the study of multiscale finite element methods for multiscale advection-diffusion problems in the advection-dominated regime. Two types of approaches are investigated: Take into account the advection in the construction of the approximation space, or apply a stabilization method. We begin with advection-dominated advection-diffusion problems in heterogeneous media. We carry on with advection-dominated advection-diffusion problems posed in perforated domains.Here, we focus on the Crouzeix-Raviart type boundary condition for the construction of the multiscale finite elements. We consider two different situations depending on the condition prescribed on the boundary of the perforations: the homogeneous Dirichlet condition or the homogeneous Neumann condition. This study relies on a coercivity assumption.Lastly, we consider a general framework where the advection-diffusion operator is not coercive, possibly in the advection-dominated regime. We propose a Finite Element approach based on the use of an invariant measure associated to the adjoint operator. This approach is unconditionally well-posed in the mesh size. We compare it numerically to a standard stabilization method