Constructions de sous-variétés legendriennes dans les espaces de jets d'ordre un de fonctions et fonctions génératrices

Constructions of Legendrian submanifolds in spaces of 1-jets of functions and generating functions

• Auteur / Autrice : Maÿlis Limouzineau
• Direction : Emmanuel Ferrand, Christian Blanchet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/10/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lisa M. Traynor, François Laudenbach, Alexandru Oancea
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sheila Sandon, Eduardo Ricardo Uribe Vargas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Sous-variétés (mathématiques)

Fonctions génératrices

Legendre, Fonctions de

Mots clés libres

Espaces des 1-jets de fonctions réelles

Sous-variétés legendriennes

Fonctions génératrices

Somme et convolution des fonctions

Transformée de Legendre

Cobordismes legendriens

1-jet spaces of functions

Legendrian submanifolds

Generating functions

Résumé

Dans cette thèse, on manipule deux types d'objets fondamentaux de la topologie de contact : les sous-variétés legendriennes des espaces de 1-jets de fonctions dé finies sur une variété M, noté J1(M;R), et la notion intimement liée de fonctions génératrices. On étudie des "opérations" que l'on peut faire sur ces objets, c'est-à-dire des procédures qui construisent (génériquement) de nouvelles sous-variétés legendriennes à partir d'anciennes. On dé finit en particulier les opérations somme et convolution des sous-variétés legendriennes, qui sont conjuguées par une transformation de type transformée de Legendre. Nous montrons que ces opérations se refl ètent harmonieusement dans le monde des fonctions génératrices. Ce second point de vue nous conduit en particulier à nous interroger sur l'effet de nos opérations sur le sélecteur, notion classique de géométrie symplectique dont on adapte la construction à ce contexte. Pour fi nir, on se concentre sur l'espace à trois dimensions J1(R;R) et sur les noeuds legendriens qui admettent (globalement) une fonction génératrice. C'est une condition forte sur les sous-variétés legendriennes, que l'on choisit d'étudier en proposant plusieurs constructions explicites. On termine avec l'étude des notions de cobordisme legendrien naturellement associées, où l'opération somme évoquée plus s'avère tenir une place centrale.

This thesis concerns two types of fundamental objects of the contact topology : Legendrian submanifolds in 1-jet spaces of functions de fined on a manifold M, denoted by J1(M;R), and the closed related notion of generating functions. We study "operations" that build (generically) new Legendrian submanifolds from old ones. In particular, we de fined the operations sum and convolution of Legendrian submanifolds, which are linked by a form of the Legendre transform. We show how the operations are well re flected in terms of generating functions. It offers a second point of view and leads us to wonder the effect of our operations on the selector, which is a classical notion of symplectic geometry, and we adapt its construction to this context. Finally, we focus on the three dimensional space J1(R;R) and Legendrian knots which admit a (global) generating function. It is a strong condition for Legendrian submanifolds, and we choose to examine it by proposing several explicit constructions. We conclude by studying the notions of Legendrian cobordism which are naturally related. The operation sum mentioned before finds there a central role.