Anneaux tautologiques d'espaces de modules de courbes

Tautological rings of moduli spaces of curves

• Auteur / Autrice : Malick Camara
• Direction : Alessandro Chiodo, Dimitri Zvonkine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Emmanuel Chaput, Antoine Ducros
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Samuel Boissière

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modules (algèbre)

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Espaces de modules

Anneau tautologique

Relation tautologique

Géométrie algébrique

Surfaces de Riemann

Courbe réelle

Moduli space

Tautological ring

Tautological relation

Résumé

Les espaces de modules de Riemann répondent au problème de la classification des surfaces de Riemann compactes d'un genre donné. Le sujet de cette thèse est la cohomologie de l'espace des modules des courbes d'un genre donné avec un certain nombre de points marqués. La description de cet anneau a été initiée par D. Mumford puis C. Faber avait proposé une description de l'anneau tautologique des espaces de modules sans points marqués. Une première source de relations provient des relations A. Pixton démontrées par A. Pixton, R. Pandharipande et D. Zvonkine mais on ne sait pas si elles sont complètes. Une autre source de relations utilisée dans ce travail sont les relations de A. Buryak, S. Shadrin et D. Zvonkine. Avant cette thèse, il y avait peu de résultats sur l'anneau tautologique d'espaces de modules de courbes avec un nombre quelconque de points marqués. Cette thèse donne une description complète des l'anneaux tautologiques des espaces de modules de courbes de genres 0, 1, 2, 3 et 4. Un des résultats ayant demandé beaucoup de travail est le groupe de degré 2 de l'anneau tautologique des espaces de modules de courbes lisses de genre 4. Ce groupe demande un travail sur l'annulation de certaines classes tautologiques sur le bord de la compactification de Deligne-Mumford de l'espace des modules en plus d'un astucieux travail numérique. L'espace des modules des courbes réelles de genre 0 et sa théorie de l'intersection sont également étudiés. On peut alors démontrer plusieurs résultats analogues à ceux obtenus dans le cas complexe comme l'équation de la corde. On démontre une formule donnant les nombres d'intersection.

The problem of the moduli spaces of compact Riemann surfaces is the problem of the classification of compact Riemann surfaces of a certain genus. The topic of this thesis is the cohomology of the moduli spaces of curves of a certain genus with marked points and more precisely its subbring called tautological ring. The description of the tautological ring has been initiated by D. Mumford, then C. Faber conjectured a description of the moduli space of curves without marked points. A source of tautological relations are Pixton's relations proven by A. Pixton, R. Pabndharipande and D. Zvonkine. Another source of relations are relations of A. Buryak, S. Shadrin and D. Zvonkine. Before this thesis, there were only few results on the tautological ring of curves with any number of marked points. This thesis gives a complete description of the tautological rings of moduli curves of genera 0, 1, 2, 3 and 4 with any number of marked points. A result which needed a lot of work is the group of degree 2 of the tautological ring of the moudli space of smooth curves of genus 4. We need to work on the vanishing of some tautological classes on the boundary of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves and a clever numerical work.The moduli space of real curves of genus 0 and its intersection theory are also studied. Then we can show several results which are analogous to results in the complex case like the string equation. One result of this thesis is a formula giving intersection numbers of products of xi classes.x