Optimisation de forme pour des problèmes de contact et de plasticité à l'aide de la méthode des lignes de niveaux

Shape optimization for contact and plasticity problems thanks to the level set method

• Auteur / Autrice : Aymeric Maury
• Direction : Grégoire Allaire, François Jouve
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/12/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Pironneau, Edouard Oudet, Anne-Sophie Bonnet-Bendhia
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-Jacques Marigo, Eduard Rohan

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ensembles de niveaux, Méthodes d'

Inégalités (mathématiques)

Mots clés libres

Méthode de lignes de niveaux

Optimisation de forme

Contact

Plasticité

Inéquations variationelles

Dérivée conique

Shape optimization

Level set method

Contact and plasticity

Résumé

Cette thèse porte sur l'optimisation de forme via la méthode des ''level sets'' pour deux comportements mécaniques induisant des déplacements non différentiables par rapport à la forme: le contact et la plasticité. Pour y remédier, nous utilisons des problèmes approchés issus de méthode de pénalisation et de régularisation.Dans la première partie, nous présentons quelques notions fondamentales d'optimisation de forme (chapitre 1). Puis nous exposons les résultats qui seront utiles à l'analyse des deux problèmes mécaniques considérés et nous illustrons ces résultats.La deuxième partie introduit les modèles statiques de contact (chapitre 3) et le modèle statique de plasticité (chapitre 4) que nous utilisons dans le manuscrit. Pour chacun, nous donnons les bases de la modélisation mécanique, une analyse mathématique des inéquations variationnelles associées et nous expliquons quels solveurs nous avons implémentés.La dernière partie se focalise sur l'optimisation de forme. Dans chacun des chapitres nous donnons les versions pénalisées et régularisées des modèles, prouvons, pour certains, leur convergence vers les modèles exactes, calculons leurs gradients de forme et proposons des exemples 2D et, en contact, 3D. Ainsi, dans le chapitre 5, traitons-nous du contact et considérons deux sortes de problèmes: le premier dans lequel la zone de contact est fixe, le second dans lequel la zone de contact est optimisable. Pour ce dernier, nous introduisons deux méthodes pour résoudre du contact sans discrétiser la zone de contact. Dans le chapitre 6, nous abordons le modèle de Hencky que nous approximons grâce à une pénalisation de Perzyna ainsi que grâce à un modèle de notre crue.

The main purpose of this thesis is to perform shape optimisation, in the framework of the level set method, for two mechanical behaviours inducing displacement which are not shape differentiable: contact and plasticity. To overcome this obstacle, we use approximate problems found by penalisation and regularisation.In the first part, we present some classical notions in optimal design (chapter 1). Then we give the mathematical results needed for the analysis of the two mechanical problems in consideration and illustrate these results.The second part is meant to introduce the five static contact models (chapter 3) and the static plasticity model (chapter 4) we use in the manuscript. For each chapter we provide the basis of the mechanical modeling, a mathematical analysis of the related variational inequations and, finally, explain how we implement the associated solvers.Eventually the last part, consisting of two chapters is devoted to shape optimisation. In each of them, we state the regularised versions of the models, prove, for some of them, the convergence to the exact ones, compute shape gradients and perform some numerical experiments in 2D and, for contact, in 3D. Thus, in chapter 5, we focus on contact and consider two types of optimal design problems: one with a fixed contact zone and another one with a mobile contact zone. For this last type, we introduce two ways to solve frictionless contact without meshing the contact zone. One of them is new and the other one has never been employed in this framework. In chapter 6, we deal with the Hencky model which we approximate thanks to a Perzyna penalised problem as well as a home-made one.