Thèse soutenue

Optimisation de la forme des zones d'observation pour l'équation des ondes. Applications à la tomographie photoacoustique
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Auteur / Autrice : Pierre Jounieaux
Direction : Yannick PrivatEmmanuel Trélat
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 15/06/2016
Etablissement(s) : Paris 6
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnaud Diego Münch, Stéphane Labbé, Maïtine Bergounioux, Céline Grandmont, Amélie Litman

Résumé

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On considère dans cette thèse l'équation des ondes posée sur un domaine Ω supposé régulier. Si Ω désigne une surface supposée observable, on peut définir la constante d'observabilité associée à Ω. L'intérêt de cette constante est de rendre compte de la qualité de la reconstruction dans le problème inverse qui consiste à reconstruire les données initiales à partir de la mesure de la solution sur Ω. Ainsi l'étude de cette constante s'applique entre autres à la détermination de la forme et du placement optimaux de capteurs, pour la mesure de toute sorte de phénomènes ondulatoires. Le but du premier chapitre est de caractériser de manière théorique les domaines Ω de surface prescrite qui maximisent cette constante d'observabilité, ou plus exactement une version "randomizée" de ce critère. Dans le second chapitre il s'agit d'appliquer les résultats obtenus au placement optimal de capteurs pour la tomographie photoacoustique. La tomographie photoacoustique est un procédé d'imagerie médicale ultra-sonore, non invasif encore peu développé qui est une alternative précise et plus économique à l'imagerie X. C'est dans ce cadre que l'on propose une modélisation de l'influence de la forme et de la disposition des capteurs dans le problème de reconstruction de la densité des tissus. Plus particulièrement, il s'agira de construire une fonctionnelle de la forme des capteurs, rendant compte de la qualité de l'image obtenue.