Contributions à l'étude de comportements extrêmes et applications

Contributions to the study of extreme behaviors and applications

• Auteur / Autrice : Meitner Cadena
• Direction : Marie Kratz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Statistique
• Date : Soutenance le 05/01/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de statistique théorique et appliquée (Paris ; 2015-2017)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gérard Biau, Michel Dacorogna, Paul Deheuvels, Olivier Lopez, Edward Omey
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jan Beirlant, Claude Lefevre

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorèmes taubériens

Principes variationnels

Mots clés libres

Domaine d'attraction

Étude actuarielle sur le poste optique

Extrêmes

Modèle de mortalité

Risques de marché et de mortalité

Variation régulière

Domain of attraction

Actuarial study on vision services

Extreme behaviors

Résumé

Cette thèse a pour objectif d’explorer plusieurs approches pour traiter des comportements extrêmes. Nous commençons par définir une nouvelle classe M de fonctions positives et mesurables à support R^+ ayant un comportement asymptotique polynomial, strictement plus grande que la classe de fonctions à variation régulière (RV). Les fonctions U∊M sont identifiées à un indice réel, appelé le M -indice de U, correspondant à l’indice de RV si U est RV. Nous démontrons des propriétés algébriques et analytiques, ainsi que plusieurs caractérisations de M. Nous pouvons étendre M et certaines de ses propriétés à deux classes, M_∞ et M_(-∞), ensembles de fonctions dont le comportement asymptotique est de type e^x et e^(-x) respectivement. Nous généralisons également le théorème de Karamata et le théorème Taubérien de Karamata à M, et mettons en relation le domaine d’attraction de Fréchet et M, ainsi que celui de Gumbel et M_(-∞). Nous pouvons proposer une preuve unifiée des théorèmes Taubériens de type exponentiel donnés par Kohlbecker, de Bruijn, et Kasahara, en utilisant une caractérisation de M. La seconde partie de la thèse traite d’une part de l’analyse empirique des avantages économiques générées par le partenariat de Swiss Life France avec un organisme tiers, révélant des relations non linéaires entre les variables impliquées dans l’étude; d’autre part de l’analyse empirique des relations entre les risques de mortalité et de marché mettant en évidence une dépendance faible entre ces extrêmes. Dans la dernière partie de la thèse, nous proposons un nouveau modèle relationnel à risque accéléré, intégré dans une régression de Poisson, montrant un excellent ajustement aux données réelles.

The main objective of this thesis is to explore several approaches to deal with extreme behaviors. We start defining a new class M of positive and measurable functions with support R^+ and polynomial asymptotic tail behavior, strictly larger than the class of regularly varying (RV) functions. The functions U∊M are identified by a real index, called the M-index of U, which corresponds to the RV index when U is RV. Algebraic and analytic properties and characterizations of M are given. M is extended into two classes, called M_∞ and M_(-∞), of which functions have exponential asymptotic tail behaviors of the types e^x and e^(-x) respectively. Properties satisfied on M also hold on those classes. Extensions on M of Karamata’s theorem and Karamata’s Tauberian theorem are given. Relations between the domain of attraction of Fréchet and M, as well as that of Gumbel and M_(-∞) are provided. Using a characterization of M, a unified proof of the Tauberian theorems of exponential type given by Kohlbecker, de Bruijn, and Kasahara is given. The second part of the thesis presents on one hand an empirical analysis on the economic benefits generated by the partnership of Swiss Life France with a third-party organization revealing non-linear relations between variables involved in the study; on the other hand, an empirical study on relations between mortality and market risks provides evidence of weak dependence between these extremes. The last part of the thesis presents an accelerated hazard relational model, embedded in a Poisson regression framework, showing an excellent fit to real data.