Périodes du groupe fondamental motivique de la droite projective moins zero, l’infini et les racines n-èmes de l’unité

Periods of the motivic fundamental groupoid of P1\{0, μN,∞}

• Auteur / Autrice : Claire Glanois
• Direction : Francis Brown
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/01/2016
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Herbert Gangl, Pierre Cartier, Yves André
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Don Zagier, Jianqiang Zhao

Mots clés

Mots clés contrôlés

Galois, Théorie inverse de

Hopf, Algèbres de

Corps cyclotomique

Mots clés libres

Périodes

Polylogarithmes

Galois group

Corps cyclotomiques

Motifs de Tate mixtes

Algèbre de Hopf

Groupe fondamental

Periods

Polylogarithm

Galois group

Résumé

En s'inspirant du point de vue adopté par Francis Brown, nous examinons la structure d'algèbre de Hopf des multizêtas motiviques cyclotomiques, qui sont des périodes motiviques du groupoïde fondamental de la droite projective moins 0, l'infini et les racines Nèmes de l'unité. Par application d'un morphisme période surjectif (conjecturé isomorphisme), nous pouvons déduire des résultats (identités, familles génératrices, etc.) sur les multizêtas cyclotomiques (complexes). La coaction de cette algèbre de Hopf (formule combinatoire explicite) est duale à l'action d'un dénommé groupe de Galois motivique sur ces périodes motiviques. Ces recherches sont ainsi motivées par l'espoir d'une théorie de Galois pour les périodes, étendant la théorie de Galois usuelle pour les nombres algébriques. (i) Nous présentons de nouvelles relations entre les sommes d'Euler (N=2) motiviques et deux nouvelles bases (conjecturées identiques) pour les multizêtas motiviques (N=1): Hoffman star (sous une conjecture analytique) et une seconde via les sommes d'Euler motiviques. (ii) Nous appliquons des idées de descentes galoisiennes à l'étude de ces périodes, en regardant notamment comment les multizêtas motiviques relatifs aux racines N' èmes de l'unité se plongent dans ceux associés aux racines Nèmes, lorsque N' divise N. Après avoir fourni des critères généraux, nous nous tournons vers les cas N égal à 2,3,4,6, 8, pour lesquels le groupoïde fondamental motivique engendre la catégorie des motifs de Tate mixtes sur l'anneau des entiers du Nème corps cyclotomique ramifié en N (non ramifié pour 6). Pour ces valeurs, nous explicitons les descentes galoisiennes, et étendons les résultats de Pierre Deligne

Following F. Brown's point of view, we look at the Hopf algebra structure of motivic cyclotomic multiple zeta values, which are motivic periods of the fundamental groupoid of the projective line minus 0, infinity and N roots of unity. By application of a surjective period map (conjectured isomorphism), we deduce results (generating families, identities, etc.) on cyclotomic multiple zeta values, which are complex numbers. The coaction of this Hopf algebra (explicit combinatorial formula) is the dual of the action of a so-called motivic Galois group on these specific motivic periods. This entire study was motivated by the hope of a Galois theory for periods, which should extend the usual one for algebraic numbers.(i)In the first part, we focus on the case of motivic multiple zeta values (N = 1) and Euler sums (N = 2). In particular, we present new bases for motivic multiple zeta values: one via motivic Euler sums, and another (depending on an analytic conjecture) which is known as the Hoffman star basis; under a general motivic identity that we conjecture, these bases are identical. (ii)In the second part, we apply some Galois descents ideas to the study of these periods, and examine how multiple zeta values relative to N' roots of unity are embedded into those relative to N roots, when N' divide N. After giving some general criteria for any N, we focus on the cases N=2,3,4, 6, 8, for which the motivic fundamental group generates the category of mixed Tate motives on the ring of integer of the N cyclotomic field ramified in N (unramified if N=6). For those N, we are able to construct Galois descents explicitly, and extend P. Deligne's results.