Sur le problème de coefficient et la multifractalité de whole-plane SLE

On the coefficient problem and multifractality of whole-plane SLE

• Auteur / Autrice : Thanh Binh Le
• Direction : Michel Zinsmeister
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2016
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017)
• Jury : Président / Présidente : Bertrand Duplantier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Zinsmeister, Bertrand Duplantier, Fredrik Viklund, Steffen Rohde, Athanasios Batakis, Jin Xiong, Julien Barral, Matthieu Astorg
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Fredrik Viklund, Steffen Rohde

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices

Équations aux dérivées partielles

Multifractales

Itô, Intégrales d'

Mots clés libres

Whole-plane SLE

Moments logarithmiques

Equation de Beliaev-Smirnov

Spectre généralisé

Variance asymptotique de McMullen

Coefficients de Grunsky

Whole-plane SLE

Logarithmic moments

Beliaev-Smirnov equation

Generalized spectrum

McMullen’s asymptotic variance

Grunsky coefficients

Résumé

Le point de départ de cette thèse est la conjecture de Bieberbach : sa démonstration par De Branges utilise deux ingrédients, à savoir la théorie de Loewner des domaines plans croissants et une inégalité de Milin qui concerne les coefficients logarithmiques. Nous commençons par étudier les coefficients logarithmiques du whole-plane SLE en utilisant une méthode combinatoire, assistée par ordinateur. Nous retrouvons les résultats en utilisant une équation aux dérivées partielles analogue à celle obtenue par Beliaev et Smirnov. Nous généralisons ces résultats en définissant le spectre généralisé du whole-plane SLE, que nous calculons par la même méthode, à savoir en dérivant, par le calcul d’Itô, une EDP parabolique satisfaite par les quantités que nous moyennons. Cette famille à deux paramètres d’EDP admet une riche structure algébrique que nous étudions en détail. La dernière partie de la thèse concerne l’opérateur de Grunsky et ses généralisations. Plus expérimentale, nous y mettons à jour, grâce à un logiciel de calcul formel, une structure assez complexe dont nous avons commencé l’exploration.

The starting point of this thesis is Bieberbach’s conjecture: its proof, given by De Branges, uses two ingredients, namely Loewner’s theory of increasing plane domains and an inequality from Milin about the logarithmic coefficients. We start with a study of the logarithmic coefficients of the whole-plane SLE by using a combinatorial method, assisted by computer. We find the results by using a partial differential equation similar to that obtained by Beliaev and Smirnov. We generalize these results by defining the generalized spectrum of the whole-plane SLE, that we calculate by the same method, namely by deriving, thanks to Itô calculus, a parabolic PDE satisfied by the quantities of which we take the average. This two-parameter family of PDEs admits a rich algebraic structure that we study in detail. The last part of this thesis is about the Grunsky operator and its generalizations. In this part that is more experimental we update, thanks to a computer algebra system, a rather complex structure of which we began the exploration.