Étude des opérateurs différentiels globaux sur certaines variétés algébriques projectives

On global differential operators on some projective algebraic varieties

• Auteur / Autrice : Benoît Dejoncheere
• Direction : Olivier Mathieu, Alexis Tchoudjem
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2016
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Michel Brion
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Mathieu, Stéphanie Cupit-Foutou, Lucy Moser-Jauslin, Nicolas Ressayre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nicolas Perrin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie locale

Variétés de drapeaux (géométrie)

Opérateurs différentiels

Compactifications

Mots clés libres

Compactifications magnifiques

Opérateurs différentiels

Variétés de drapeaux

Quotients GIT

Cohomologie locale

Wonderful compactifications

Differential operators

Flag varieties

GIT quotients

Local cohomology

Résumé

Initiée indépendamment par Beilinson et Bernstein et par Brylinski et Kashiwara, l'étude des opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux complets a permis de répondre à une conjecture de Kazhdan et Lusztig. Ayant été poursuivie notamment par les travaux de Borho et Brylinski, cette étude a mis à jour plusieurs propriétés intéressantes sur les opérateurs différentiels sur les variétés de drapeaux. Cependant, en dehors du cas des variétés de drapeaux et du cas des variétés toriques projectives, qui a été étudié de manière combinatoire, les opérateurs différentiels sont plutôt mal compris sur les variétés projectives.Dans cette thèse, nous nous pencherons sur le cas de certaines compactifications magnifiques Y d'espaces symétriques G/H de petit rang, et nous comparerons les résultats obtenus avec ceux connus sur les variétés de drapeaux. Nous allons commencer par construire un opérateur différentiel global sur Y qui ne provient pas de l'action infinitésimale de l'algèbre de Lie de G, ce qui constitue une différence avec le cas des variétés de drapeaux.Ensuite, nous nous intéresserons à trois cas particulier que nous exprimerons comme des quotients GIT d'une certaine grassmannienne X. Grâce à cette description, nous verrons plusieurs similitudes avec le cas des variétés de drapeaux : nous montrerons que l'algèbre des opérateurs globaux sur Y est de type fini, et que pour tout faisceau inversible L sur Y, ses sections globales forment un module simple pour l'algèbre des opérateurs différentiels globaux de Y tordus par L. Enfin, en utilisant des arguments de cohomologie locale, nous montrerons que c'est également le cas pour les groupes de cohomologie supérieurs

Started independently by Beilinson and Bernstein, and by Brylinski and Kashiwara, the study of global differential operators on complete flag varieties has been very useful to answer a conjecture of Kazhdan and Lusztig. In their subsequent work, Borho and Brylinski have discovered many interesting properties on differential operators on flag varieties. But apart from the case of flag varieties, and the case of projective toric varieties, which has been investigated with combinatorial methods, differential operators on projective varieties are rather badly known.In this thesis, we will investigate the case of some wonderful compactifications Y of symmetric spaces G/H of small rank, and we will compare our results with what is known in the case of flag varieties. We will first construct a differential operator on Y which does not come from the infinitesimal action of G, which is different from the case of flag varieties.We will then look at three particular cases, which will be expressed as GIT quotients of some Grassmannian X. With this description, we will find some similarities with the case of flag varieties : we will show that the algebra of global differential operators is of finite type, and that for each invertible sheaf L on Y, the module of its global sections is simple as a module over the algebra of global differential operators of Y twisted by L. Finally, using arguments of local cohomology, we will show that it is still the case for higher cohomology groups