Simulation exacte de diffusions browniennes (biaisées) avec dérive discontinue

On the exact simulation of (skew) Brownian diffusions with discontinuous drift

• Auteur / Autrice : Sara Mazzonetto
• Direction : David Dereudre, Sylvie Rœlly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 08/11/2016
• Etablissement(s) : Lille 1 en cotutelle avec Universität Potsdam
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Temps local (probabilités)

Simulation, Méthodes de

Représentations de semigroupes

Processus de diffusion

Mouvement brownien, Processus de

Mots clés libres

Dérive discontinue

Barrières semiperméables

Méthode de rejet généralisée

Simulation exacte

Résumé

Cette thèse de doctorat consiste en l’étude et en la simulation exacte de deux classes de diffusions browniennes à valeurs réelles: le mouvement brownien biaisé en plusieurs points et les diffusions browniennes avec dérive admettant un nombre fini de sauts. On appelle diffusion biaisée en plusieurs points une diffusion (Markovienne) évoluant entre plusieurs barrières semi-perméables. Lorsqu’une telle diffusion atteint l’une de ces barrières, elle est partiellement réfléchie, avec une probabilité dépendant de la barrière. Nous obtenons tout d’abord une représentation du semi-groupe de transition du mouvement brownien biaisé avec dérive constante sous la forme d’une intégrale de contour, grâce à l’étude fine des propriétés complexes de ce semi-groupe. Cette représentation nous fournit alors une formule explicite et novatrice pour la densité de transition du mouvement brownien avec dérive constante biaisé en deux points. L’expression consiste en une série de fonctions gaussiennes et spéciales. Nous proposons une nouvelle méthode de simulation par rejet qui offre la possibilité d’échantillonner de façon exacte à partir d’une densité, même si elle n’est connue que par approximation, sans aucune autre erreur que celles de l’ordinateur. Nous appliquons ensuite ce nouveau schéma à la simulation d’un mouvement brownien avec dérive constante, biaisé en deux points. Chemin faisant, nous obtenons une borne uniforme pour le quotient de cette densité par rapport à la densité du mouvement Brownien avec la même dérive. Un autre objectif de la thèse est de développer un algorithme de simulation exacte pour les diffusions browniennes avec dérive admettant plusieurs sauts.

This thesis is focused on the study and the exact simulation of two classes of real-valued Brownian diffusions: multi-skew Brownian motions with constant drift and Brownian diffusions whose drift admits a finite number of jumps. A skew diffusion with several semipermeable barriers, called multi-skew diffusion, is a (Markovian) diffusion partially reflected at some barriers with a probability depending on that particular barrier. In this thesis we first obtain a contour integral representation for the transition semigroup of the multiskew Brownian motion with constant drift, based on a fine analysis of its complex properties. Thanks to this representation we write explicitly the transition densities of the two-skew Brownian motion with constant drift as an infinite series involving Gaussian functions and their tails. Then we propose a new useful generalization of the known rejection sampling method which allows to sample exactly from densities for which only an approximation is known. The originality of our algorithm lies in the fact that we finally sample directly from the law without any approximation, except the machine’s. As an application, we sample from the transition density of the two-skew Brownian motion with or without constant drift and provide also a uniform bound for the ratio between the latter and the transition density of the Brownian motion with constant drift. The second aim of this thesis is to develop an exact simulation algorithm for a Brownian diffusion whose drift admits several jumps. The theoretical method we give allows to deal with any finite number of discontinuities. Then we focus on the case of two jumps, using the transition densities obtained before.