Géométrie des surfaces singulières

Geometry of singular surfaces

• Auteur / Autrice : Clément Debin
• Direction : Gérard Besson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/12/2016
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Erwan Lanneau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Francois Fillastre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-Marc Schlenker, Rafe Mazzeo, Marc Troyanov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces (mathématiques)

Mots clés libres

Géométrie riemannienne

Singularités coniques

Surfaces d'Alexandrov

Théorème de compacité

Espace de module

Géométrie hyperbolique de dimension infinie

Riemannian geometry

Conical singularities

Alexandrov surfaces

Compactness theorem

Moduli space

Infinite dimensional hyperbolic geometry

Résumé

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des ''surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov''. Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces ''raisonnables'' que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés.

If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the ''surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense''. It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any ''reasonable'' surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties.