Sur quelques invariants classiques et nouveaux des hypergraphes

On some classical and new hypergraph invariants

• Auteur / Autrice : Andrea Munaro
• Direction : András Sebő, Matěj Stehlík
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 01/12/2016
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Sciences pour la conception, l'optimisation et la production (Grenoble, Isère, France)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Maffray
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : András Gyárfás
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Dieter Rautenbach, Nicolas Trotignon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Analyse combinatoire

Hypergraphes

Mots clés libres

Graphes

Paramètre des hypergraphes

NP-complétude

Line graphs

Hypergraph parameters

Boundary classes

VC-dimension

NP-completeness

Theta-bounding functions

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons plusieurs paramètres des hypergraphes et nous étudions si les restrictions aux sous-classes des hypergraphes permettent d’obtenir des propriétés combinatoires et algorithmiques souhaitables. La plupart des paramètres que nous prenons en compte sont des instances spéciales des packings et transversals des hypergraphes.Dans la première partie, nous allons nous concentrer sur les line graphs des graphes subcubiques sans triangle et nous allons démontrer que pour tous ces graphes il y a un independent set de taille au moins 3|V(G)|/10 et cette borne est optimale. Conséquence immédiate: nous obtenons une borne inférieure optimale pour la taille d’un couplage maximum dans les graphes subcubiques sans triangle. De plus, nous montrons plusieurs résultats algorithmiques liés au FEEDBACK VERTEX SET, HAMILTONIAN CYCLE et HAMILTONIAN PATH quand restreints aux line graphs des graphes subcubiques sans triangle.Puis nous examinons trois hypergraphes ayant la propriété d’Erdős-Pósa et nous cherchons à déterminer les fonctions limites optimales. Tout d’abord, nous apportons une fonction theta-bounding pour la classe des graphes subcubiques et nous étudions CLIQUE COVER: en répondant à une question de Cerioli et al., nous montrons qu’il admet un PTAS pour les graphes planaires. Par la suite, nous nous intéressons à la Conjecture de Tuza et nous montrons que la constante 2 peut être améliorée pour les graphes avec arêtes contenues dans au maximum quatre triangles et pour les graphes sans certains odd-wheels. Enfin, nous nous concentrons sur la Conjecture de Jones: nous la démontrons dans le cas des graphes sans griffes avec degré maximal 4 et nous faisons quelques observations dans le cas des graphes subcubiques.Nous étudions ensuite la VC-dimension de certains hypergraphes résultants des graphes. En particulier, nous considérons l’hypergraphe sur l’ensemble des sommets d’un certain graphe qui est induit par la famille de ses sous-graphes k-connexes. En généralisant les résultats de Kranakis et al., nous fournissons des bornes supérieures et inférieures optimales pour la VC-dimension et nous montrons que son calcul est NP-complet, pour chacun k > 0. Enfin, nous démontrons que ce problème (dans le cas k = 1) et le problème étroitement lié CONNECTED DOMINATING SET sont soit solvables en temps polynomial ou NP-complet, quand restreints aux classes de graphes obtenues en interdisant un seul sous-graphe induit.Dans la partie finale de cette thèse, nous nous attaquons aux meta-questions suivantes: Quand est-ce qu’un certain problème “difficile” de graphe devient “facile”?; Existe-t-il des frontières séparant des instances “faciles” et “difficiles”? Afin de répondre à ces questions, dans le cas des classes héréditaires, Alekseev a introduit la notion de boundary class pour un problème NP-difficile et a montré qu’un problème Pi est NP-difficile pour une classe héréditaire X finiment défini si et seulement si X contient un boundary class pour Pi. Nouscontinuons la recherche des boundary classes pour les problèmes suivants: HAMILTONIAN CYCLE THROUGH SPECIFIED EDGE, HAMILTONIAN PATH, FEEDBACK VERTEX SET, CONNECTED DOMINATING SET and CONNECTED VERTEX COVER.

In this thesis, we consider several hypergraph parameters and study whether restrictions to subclasses of hypergraphs allow to obtain desirable combinatorial or algorithmic properties. Most of the parameters we consider are special instances of packings and transversals of hypergraphs.In the first part, we focus on line graphs of subcubic triangle-free graphs and show that any such graph G has an independent set of size at least 3|V(G)|/10, the bound being sharp. As an immediate consequence, we obtain a tight lower bound for the matching number of subcubic triangle-free graphs. Moreover, we prove several algorithmic results related to FEEDBACK VERTEX SET, HAMILTONIAN CYCLE and HAMILTONIAN PATH when restricted to line graphs of subcubic triangle-free graphs.Then we consider three hypergraphs having the Erdős-Pósa Property and we seek to determine the optimal bounding functions. First, we provide an optimal theta-bounding function for the class of subcubic graphs and we study CLIQUE COVER: answering a question by Cerioli et al., we show it admits a PTAS for planar graphs. Then we focus on Tuza’s Conjecture and show that the constant 2 in the statement can be improved for graphs whose edges are contained in at most four triangles and graphs obtained by forbidding certain odd-wheels. Finally, we concentrate on Jones’ Conjecture: we prove it in the case of claw-free graphs with maximum degree at most 4 and we make some observations in the case of subcubic graphs.Then we study the VC-dimension of certain set systems arising from graphs. In particular, we consider the set system on the vertex set of some graph which is induced by the family of its k-connected subgraphs. Generalizing results by Kranakis et al., we provide tight upper and lower bounds for the VC-dimension and we show that its computation is NP-complete, for each k > 0. Finally, we show that this problem (in the case k = 1) and the closely related CONNECTED DOMINATING SET are either NP-complete or polynomial-time solvable when restricted to classes of graphs obtained by forbidding a single induced subgraph.In the final part of the thesis, we consider the following meta-questions: When does a certain “hard” graph problem become “easy”?; Is there any “boundary” separating “easy” and “hard” instances? In order to answer these questions in the case of hereditary classes, Alekseev introduced the notion of a boundary class for an NP-hard problem and showed that a problem Pi is NP-hard for a finitely defined (hereditary) class X if and only if X contains a boundary class for Pi. We continue the search of boundary classes for the following problems: HAMILTONIAN CYCLE THROUGH SPECIFIED EDGE, HAMILTONIAN PATH, FEEDBACK VERTEX SET, CONNECTED DOMINATING SET and CONNECTED VERTEX COVER.