Sur une anomalie du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons

par Kévin Corbineau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Christine Lescop.

Le président du jury était Gwénaël Massuyeau.

Le jury était composé de Louis Funar, Jean-Baptiste Meilhan.

Les rapporteurs étaient Thomas Fiedler, Pierre Vogel.


  • Résumé

    Maxim Kontsevich a défini un invariant Z des sphères d'homologie rationnelle orientées de dimension 3 en 1992, en poursuivant l'étude initiée par Edward Witten du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons.L'invariant Z de Kontsevich est gradué. Il s'écrit Z=(Zn) {nin NN }, où Zn prend ses valeurs dans un espace CAn engendré par des diagrammes trivalents à 2n sommets appelésdiagrammes de Feynman-Jacobi de degré n.L'invariant Z apparait d'abord comme un invariant Z(M,tau) des sphères d'homologie rationnelle M de dimension 3 munies d'une parallélisation tau.Il est l'exponentielle d'un invariant z(M,tau)=(zn(M,tau)) {nin NN }dont la partie de degré n compte algébriquement les plongements des diagrammes de Feynman-Jacobi connexes à 2n sommets assujettis à vérifier certaines conditions.On peut associer un invariant homotopique entier p 1(tau) aux parallélisations tau des variétés orientées de dimension 3, et il existe un élément beta=(betan) {nin NN} de CAn appelé anomalie tel quezn(M,tau)-p 1(tau)betan soit indépendant de tau et noté zn(M).Z(M)=expleft((zn(M)){nin NN}right).On sait depuis l'introduction de cette constante par Greg Kuperberg et Dylan Thurston en 1999 que betan=0 si n est pair et que beta 1 neq 0.Cette thèse porte sur le calcul de la première valeur inconnue beta 3. Elle en présente des expressions très simplifiées et implémentables sur ordinateur.

  • Titre traduit

    On an anomaly of the perturbative expansion of Chern-Simons theory


  • Résumé

    The Kontsevich invariant Z of rational homology 3- sphere was constructed by Maxim Kontsevich in 1992 using configuration space integrals.This invariant is graduated. It can be written as Z=(Zn){nin NN}, where Zn values in the space mathcal{A} n of jacobi diagram with order n. A Jacobi diagram with order n is a trivalent graph with 2n vertices. At a first point, we can see Z as an invariant Z(M,tau) of rational homology 3-spheres equipped with a trivialisation tau so that Z is the exponential of an invariant z(M,tau)=(zn(M,tau)) {ninNN}. In fact, we can say that zn(M,tau) counts the number of embeddings of connected jacobi diagrams with order n with some additionnal conditions. We can associate an homotopic integer invariant p 1(tau) to each trivialisation tau of oriented 3-manifolds and it exists beta=(betan){ninNN}, where betaninmathcal{A} n that is called anomaly so that zn(M,tau) - p 1(tay) is independant of tau. We name it zn(M) and Z(M)=exp((zn(M){nin NN})).Greg Kuperberg and Dylan Thurston introduced this constant in 1999. We already know that betan=0 if n is even and beta 1neq 0. This thesis is about the computation of beta 3. It describes simplified expressions of beta 3, and this expressions can be compute with a computer.


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