Contributions à l'étude des groupes quantiques de permutations
Auteur / Autrice : | Arthur Chassaniol |
Direction : | Julien Bichon |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques Fondamentales |
Date : | Soutenance le 28/06/2016 |
Etablissement(s) : | Clermont-Ferrand 2 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures (Clermont-Ferrand) - LMBP (Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal) |
Jury : | Président / Présidente : François Dumas |
Examinateurs / Examinatrices : Julien Bichon, Saad Baaj, Pierre Fima | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Teodor Banica, Roland Vergnioux |
Mots clés
Résumé
Dans cette thèse nous étudions le groupe quantique d’automorphismes des graphes finis, introduit par Banica et Bichon. Dans un premier temps nous montrerons un théorème de structure du groupe quantique d’automorphismes du produit lexicographique de deux graphes finis réguliers, qui généralise un résultat classique de Sabidussi. Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce groupe quantique s’exprime comme le produit en couronne libre des groupes quantiques d’automorphismes de ces deux graphes. Dans un deuxième temps, nous expliciterons certaines améliorations de résultats de Banica, Bichon et Chenevier permettant d’obtenir des critères de non symétrie quantique sur les graphes, à l’aide des outils développés par les auteurs susmentionnés.Enfin, pour poursuivre ces recherches, nous développerons une autre méthode utilisant la dualité de Tannaka-Krein et inspirée de l’étude des groupes quantiques compacts orthogonaux par Banica et Speicher. Celle-ci nous permettra, à l’aide d’une étude orbitale approfondie des graphes sommets-transitifs, d’énoncer une condition suffisante pour qu’un graphe ait des symétries quantiques ; condition qui a vocation à être aussi nécessaire mais ceci reste une conjecture à ce stade.