Etude de quelques modèles issus de la théorie des jeux en champ moyen

Study of some models from Mean Field Games theory

• Auteur / Autrice : Igor Swiecicki
• Direction : Thierry Gobron, Denis Ullmo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique - Cergy
• Date : Soutenance le 29/09/2016
• Etablissement(s) : Cergy-Pontoise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Économie, Management, Mathématiques, Physique et Sciences Informatiques (Cergy-Pontoise, Val d'Oise)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Physique Théorique et Modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise ; 2002-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Philippe Bouchaud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Denis Ullmo, Pierre Cardaliaguet, Gabriel Turinici
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Damien Challet, Pablo Jensen

Mots clés

Mots clés libres

Jeux en champ moyen

Modèles

Économie

Stochastique

Optimisation

Physique statistique

Mean field games

Models

Economy

Stocahstic

Optimization

Statistical physics

Résumé

La théorie des jeux en champ moyen constitue un formalisme puissant introduit récemmentpour étudier des problèmes d’optimisation stochastiques avec un grand nombre d’agents. Aprèsavoir rappelé les principes de base de cette théorie et présenté quelques cas d’applicationtypiques, on étudie en détail un modèle stylisé de séminaire, de type champ moyen. Nousdérivons une équation exacte qui permet de prédire l’heure de commencement du séminaire etanalysons différents régimes limites, dans lesquels on parvient à des expressions approchées de lasolution. Ainsi on obtient un "diagramme de phase" du problème. On aborde ensuite un modèleplus complexe de population avec des effets de groupe attractifs. Grâce à une analogie formelleavec l’équation de Schrödinger non linéaire, on met en évidence des lois d’évolutions généralespour les valeurs moyennes du problème, que le système vérifie certaines lois de conservation etl’ on développe des approximations de type variationnel. Cela nous permet de comprendre lecomportement qualitatif du problème dans le régime de fortes interactions.

Mean Field Games Theory is a theoretical framework developed recently to deal withstochastic optimization problems when the number of agents is large. First the mathematicaltools are introduced heuristically, step by step, and some examples are presented in finance,economy and social problems. I study then thoroughly a seminar toymodel and derive anequation for the starting time of the meeting. The analysis of the limit regimes allows to builda "phase diagram" of the problem. In a second time, a herding problem, where individualshave their own preferences and are attracted by the group, is tackled. Thanks to a formal analogywith the Non Linear Schrödinger equation, some explicit solutions, conservation laws andso-called variational approximations are derived. Finally I use these tools to get a qualitativeunderstanding of the solution’s behaviour in the strong interaction regime.