Thèse soutenue

Résolution de systèmes de deux équations quadratiques

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Auteur / Autrice : Tony Quertier
Direction : Denis Simon
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2016
Etablissement(s) : Caen
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale structures, informations, matière et matériaux (Caen ; 1992-2016)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen2002-....)
autre partenaire : Normandie Université (2015-....)
Jury : Président / Présidente : Jérôme Poineau
Examinateurs / Examinatrices : Denis Simon, Jérôme Poineau, Tom Quertier, David Harari, Michael Stoll, Olivier Wittenberg, Daniel Juteau
Rapporteurs / Rapporteuses : David Harari, Michael Stoll

Résumé

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Soient q0 et q1 deux formes quadratiques homogènes, à coefficients entiers, à n variables. Notons Vq0,q1 la variété projective définie par l’intersection des deux quadriques associées à q0 et q1. En 1959, Mordell a démontré le principe de Hasse pour n ≥ 13, puis en 1964 Swinnerton-Dyer l’a démontré pour n ≥ 11. En 2006, Wittenberg réussit à améliorer ce résultat dans sa thèse, en prouvant que, si l’on suppose l’hypothèse de Schinzel et la finitude des groupes de Tate-Shafarevich alors le principe de Hasse est vrai pour n ≥ 6. Dans cette thèse, nous allons étudier si la variété Vq0,q1 a des points sur le corps des réels et sur les corps p-adiques. Si c’est le cas, nous proposons différents algorithmes pour calculer explicitement une solution rationnelle de q0 =q1 =0.