Thèse soutenue

Identifiabilité des signaux parcimonieux structurés et solutions algorithmiques associées : application à la reconstruction tomographique à faible nombre de vues
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Auteur / Autrice : Marc Nicodeme
Direction : Yannick BerthoumieuCharles DossalFlavius Turcu
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Automatique, productique, signal et image, ingénierie cognitique
Date : Soutenance le 23/11/2016
Etablissement(s) : Bordeaux
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences physiques et de l’ingénieur (Talence, Gironde)
Partenaire(s) de recherche :  : Université Bordeaux-I (1971-2013)
Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
Jury : Président / Présidente : Michel Berthier
Rapporteurs / Rapporteuses : Jalal Fadili, Charles Soussen

Mots clés

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Résumé

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Cette thèse étudie différents problèmes de minimisations avec des fonctions de régularisations qui promeuvent la parcimonie. Plus précisément, on souhaite reconstruire une image, que l'on suppose parcimonieuse et qui a subit une transformation après un opérateur linéaire, à l'aide de problèmes de minimisations. Dans ce manuscrit, on s'intéressera plus particulièrement à la minimisation l1 synthèse, analyse et bloc qui sont très utilisées pour reconstruction une image que l'on sait parcimonieuse. Ces minimisations produisent en pratique des résultats convaincants qui n'ont été compris théoriquement que récemment. Les différents travaux sur le sujet mettent en évidence le rôle d'un vecteur particulier appelé certificat dual. L'existence d'un certificat dual permet à la fois d'assurer la reconstruction exacte d'une image dans le cas où il n'y a pas de perturbations et d'estimer l'erreur de la reconstruction en présence de perturbations. Dans nos travaux, nous allons introduire l'existence d'un certifical dual optimal pour la minimisation l1 synthèse qui minimisent l'erreur de reconstruction. Ces résultats ayant une forte interprétation géométrique, nous avons développé un critère identifiabilité, c'est à dire que ce critère assure que l'image recherchée est l'unique solution du problème de minimisation. Ce critère permet d'étendre nos travaux à la minimisation l1 analyse, l1 bloc et à d'autres cas.