Modèles de Néron et groupes formels

Néron models and formal groups

• Auteur / Autrice : Alan Hertgen
• Direction : Qing Liu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 18/03/2016
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Michel Emsalem
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Romagny, Dajano Tossici
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dino Lorenzini, Matthieu Romagny

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes formels

Courbes elliptiques

Variétés abéliennes

Modèles de Néron

Mots clés libres

Variété abélienne

Courbe elliptique

Modèle de Néron

Groupe des composantes

Ramification

Conducteurs

Groupe formel

Dilatation

Abelian variety

Elliptic curve

Néron model

Group of components

Ramification

Conductors

Formal group

Dilatation

Résumé

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions autour des modèles de Néron de variétés abéliennes sur un corps de valuation discrète. On dit qu’une variété abélienne a réduction scindée si la suite exacte définissant le groupe des composantes de la fibre spéciale est scindée. On donne un exemple de variété abélienne modérément ramifiée qui n’a pas réduction scindée. Pour les variétés jacobiennes,on montre que l’on obtient réduction scindée après toute extension modérément ramifiée de degré plus grand qu’une constante ne dépendant que de la dimension.On considère aussi le lien avec le conducteur de Swan. Ensuite, on s’intéresse aux groupes formels des variétés abéliennes. Pour les courbes elliptiques, on détermine le rayon du plus grand voisinage de 0 qui est isomorphe à un polydisque muni de sa structure de groupe usuelle. On s’intéresse aussi aux groupes des composantes de modèles lisses, de type fini et séparés du groupe additif ou multiplicatif ainsi qu’à leurs sous-groupes des points rationnels. Enfin, on montre que le conducteur efficace d’une courbe algébrique ne peut pas s’exprimer uniquement en fonction deson conducteur d’Artin.

In this thesis, we tackle several questions about Néron models of abelian varieties on a discrete valuation field. We say that an abelian variety has split reduction if the exact sequence defining the group of components of the special fiber is split. We give an example of a tamely ramified abelian variety which does not have split reduction. For Jacobian varieties, we show that one gets split reduction after any tamely ramified extension of degree greater than aconstant depending on the dimension only. We also consider the link with theSwan conductor. Then, we deal with formal groups of abelian varieties. For elliptic curves, we compute the radius of the largest neighbourhood of 0 which is isomorphic to a polydisk equipped with its usual group law. We also deal with groups of components of smooth and separated models of finite type of the additive or multiplicative group as well as their subgroups of rational points. Finally, we show that the efficient conductor of an algebraic curve cannot be expressed interms of its Artin conductor only.