Étude des structures non-commutatives : le cas des groupes quantiques et des groupes duaux dans le contexte des probabilités quantiques

Investigating non commutative structures - quantum groups and dual groups in the context of quantum probability

• Auteur / Autrice : Michael Ulrich
• Direction : Uwe Franz, Michael Schürmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 21/06/2016
• Etablissement(s) : Besançon en cotutelle avec Ernst-Moritz-Arndt-Universität (Greifswald, Allemagne)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon
• Jury : Président / Présidente : Christian Le Merdy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Uwe Franz, Michael Schürmann, Christian Le Merdy, Franz Lehner, Adam Skalski, Thierry Lévy, Volkmar Liebscher
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franz Lehner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lévy, Processus de

Matrices aléatoires

Probabilités

Théorie quantique

Mots clés libres

Matrices aléatoires

Processus de Lévy

Groupes quantiques

Probabilités non-commutatives

Probabilités libres

Random matrices

Lévy processes

Quantum groups

Noncommutative probability

Free probability

Résumé

Les Mathématiques non-commutatives sont un domaine en plein essor. L'idée de base consiste à remarquer qu'au lieu de décrire un espace donné comme étant un ensemble de points, on peut de manière équivalente le décrire par l'algèbre des fonctions définies sur cet espace. Cette algèbre est commutative. On remplace alors cette algèbre par une algèbre qui n'est plus forcément commutative et que l'on cherche à interpréter comme une algèbre de fonctions sur un « espace non-commutatif ». Les groupes quantiques sont un exemple de généralisation non-commutative de la notion de groupe. Il s'agit d'une C*-algèbre munie d'une comultiplication à valeur dans le produit tensoriel de l'algèbre avec elle-même. Les groupes quantiques ont été bien étudiés. Les groupes duaux sont similaires aux groupes quantiques, mais la comultiplication est cette fois-ci à valeur dans le produit libre, et non plus dans le produit tensoriel. Bien qu'ils aient été introduits dans les années 80, ils n'ont pas encore été vraiment étudiés. Le but de cette thèse est d'explorer les propriétés des groupes duaux, en se concentrant sur l'un d'entre eux – le groupe dual unitaire – et ce en utilisant les méthodes des probabilités non-commutatives (ou probabilités quantiques)

Noncommutative Mathematics are a very active domain. The idea underlying it is that instead of describing a space as a set of points, it is equivalent to describe it with the algebra of functions defined on said space. This algebra is commutative. Now we replace this algebra with an algebra that is not necessarily commutative any more and we want to interpret it as the algebra of functions defined on a « noncommutative space ». Quantum groups are an example of such a noncommutative generalization of the notion of group. They are C*-algebras equipped with a comultiplication that takes its values in the tensor product of the algebra with itself. Quantum groups are well-known and well studied. Nevertheless we can also define dual groups, which are similar to quantum groups, but the comultiplication takes now its values in the free product of the algebra with itself, instead of the tensor product. Though dual groups have been introduced in the 80s, they have not been much studied so far. The goal of this thesis is to study their properties, especially in the case of one particular dual group called the unitary dual group, by using methods from noncommutative probability (or quantum probability).