Méthodes géométriques et numériques en contrôle optimal et applications au transfert orbital à poussée faible et à la nage à faible nombre de Reynolds

Geometric and numerical methods in optimal control and applications to the swimming problem at low Reynolds number and to low thrust orbital transfer

• Auteur / Autrice : Jérémy Rouot
• Direction : Bernard Bonnard, Jean-Baptiste Pomet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 21/11/2016
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Mathematics for Control, Transport and Application
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernard Bonnard, Jean-Baptiste Pomet, Ugo Boscain, Emmanuel Trélat, François Alouges, Piernicola Bettiol, Richard Épenoy, Marius Tucsnak
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ugo Boscain, Emmanuel Trélat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Commande, Théorie de la

Géométrie de Riemann

Mots clés libres

Nageur du Copepod

Nageur du Purcell

Géométrie sous-Riemanienne

Contrôle optimal périodique

Conditions nécessaires et suffisantes du second ordre

Moyennisation en contrôle optimal

Copepod swimmer

Purcell swimmer

SR-geometry

Periodic optimal control

Necessary and sufficient second order optimality conditions

Averaging in optimal control

Résumé

Dans la première partie, on propose une étude sur le problème de nage à faible nombre de Reynolds à partir d'unnageur modélisant la nage des copépodes et du nageur historique de Purcell.En minimisant l’énergie dissipée par les forces de trainée sur le fluide, laquelle est reliée au concept d’efficacitéd’une nage, on utilise les outils géométriques et numériques du contrôle optimal. Le principe du maximum estutilisé pour calculer les contrôles optimaux périodiques satisfaisant une condition de transversalité fine reliée à laminimisation de l’énergie mécanique pour un déplacement fixé où à la maximisation de l’efficacité. Ce sont desproblèmes sous-Riemanniens ce qui permet d’utiliser des techniques efficaces telles que l’approximation nilpotentepour calculer des nages de faible amplitude et qui est utilisée pour calculer des nages sur le vrai système parcontinuation. Les conditions nécessaires et suffisantes du second ordre sont calculées pour sélectionner desminimiseurs faible dans le cas d’une famille de nages périodiques.Dans la seconde partie, on s‘intéresse à la trajectoire d’un engin spatial contrôlé sous l’action d’un champ à forcecentral et où l’on considère les perturbations conservatives dues à l’effet lunaire et à l’aplatissement de la Terre àses pôles. Notre approche est basée sur des techniques moyennisation appliquées sur le système issu du principedu maximum. Nous donnons des résultats de convergence entre le système moyenné et le système non moyenné.Enfin, nous simulons les trajectoires du système non moyennée en utilisant les solutions du système moyennépour initialiser des méthodes numériques indirectes

The first part of this work is devoted to the study of the swimming at low Reynolds number where we consider a2-link swimmer to model the motion of a Copepod and the seminal model of the Purcell Three-link swimmer. Wepropose a geometric and numerical approach using optimal control theory assuming that the motion occursminimizing the energy dissipated by the drag fluid forces related with a concept of efficiency of a stroke. TheMaximum Principle is used to compute periodic controls considered as minimizing control using propertransversality conditions, in relation with periodicity, minimizing the energy dissipated for a fixed displacement ormaximizing the efficiency of a stroke. These problems fall into the framework of sub-Riemannian geometry whichprovides efficient techniques to tackle these problems : the nilpotent approximation is used to compute strokeswith small amplitudes which are continued numerically for the true system. Second order optimality, necessary orsufficient, are presented to select weak minimizers in the framework of periodic optimal controls.In the second part, we study the motion of a controlled spacecraft in a central field taking into account thegravitational interaction of the Moon and the oblateness of the Earth. Our purpose is to study the time minimalorbital transfer problem with low thrust. Due to the small control amplitude, our approach is to define anaveraged system from the Maximum Principle and study the related approximations to the non averaged system.We provide proofs of convergence and give numerical results where we use the averaged system to solve the nonaveraged system using indirect method