Singularités libres, formes et résidus logarithmiques

Free singularities, logarithmic forms and residues

• Auteur / Autrice : Delphine Pol
• Direction : Jean-Michel Granger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 08/12/2016
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) - Laboratoire Angevin de REcherche en MAthématiques (LAREMA)
• Jury : Président / Présidente : Etienne Mann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Delabaere, Felix Delgado De La Mata, Mathias Schulze
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ragnar-Olaf Buchweitz, Alexandru Dimca

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes

Cohen-Macaulay, Module de

Intersections, Théorie des

Dualité, Principe de (mathématiques)

Intégrales logarithmiques

Mots clés libres

Formes logarithmiques

Résidus logarithmiques

Liberté

Intersections complètes

Espaces de Cohen-Macaulay

Logarithmic forms

Logarithmic residues

Freeness

Duality

Complete intersections

Cohen-Macaulay spaces

Curves

Résumé

La théorie des champs de vecteurs logarithmiques et des formes différentielles logarithmiques d’une hypersurface singulière réduite est développée par K.Saito. Ces notions apparaissent dans l’étude de la connexion de Gauss-Manin de certaines familles de singularités et de leur déploiement semi-universel.Lorsque le module des champs de vecteurs logarithmiques est libre, l’hypersurface est appelée diviseur libre. A.G. Aleksandrov et A. Tsikh généralisent les notions de formes différentielles logarithmiques et de résidus logarithmiques aux intersections complètes et aux espaces de Cohen-Macaulay réduits.Nous étudions dans ce travail les formes différentielles logarithmiques d’un espace singulier réduit de codimension quelconque plongé dans une variété lisse, et nous développons une notion de singularités libres qui étend la notion de diviseurs libres. Les résidus des formes différentielles logarithmiques d’une hypersurface ainsi que leur généralisation aux espaces de codimension supérieure interviennent de façon cruciale dans ce travail de thèse. Notre premier objectif est de donner des caractérisations de la liberté pour les intersections complètes et les espaces de Cohen-Macaulay qui généralisent le cas des hypersurfaces. Nous accordons ensuite une attention particulière à une famille de singularités libres, à savoir les courbes, pour lesquelles nous décrivons le module des résidus logarithmiques en termes de multi-valuations.

The theory of logarithmic vector fields and logarithmic differential forms along a reduced singular hypersurface is developed by K. Saito. These notions appear in the study of the Gauss-Manin connection of some families of singularities and their semi-universal unfolding. If the module of logarithmic vector fields is free, the hypersurface is called a free divisor. A.G. Aleksandrov and A. Tsikh generalize the notions of logarithmic differential forms and logarithmic residues to reduced complete intersections and Cohen-Macaulay spaces. In this work, we study the logarithmic differential forms of a reduced singular space of any codimension embedded in a smooth manifold, and we develop a notion of free singularity which extend the notion of free divisor. The residues of logarithmic differential forms as well as theirgeneralization to higher codimension spaces are crucial in this thesis. Our first purpose is to give characterizations of freeness for complete intersections and Cohen-Macaulay spaces which generalize the case of hypersurfaces. We then give a particular attention to a family of free singularities, namely the curves, for which we describe the module of logarithmic residues thanks to their set of values.