Modèles probabilistes de l'évolution d'une population dans un environnement variable

Probabilistic modeles of a population evolving in a changing environment

• Auteur / Autrice : Elma Nassar
• Direction : Etienne Pardoux, Michael Kopp
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/07/2016
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Amaury Lambert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Véronique Gayrard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Götz Kersting, Nicolas Champagnat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Biologie des populations

Biomathématiques

Probabilités

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Équation différentielle stochastique

Processus ponctuel de Poisson

Évolution

Moving optimum

Limite des petits sauts

Transience

Récurrence

Stochastic differential equation

Poisson point process

Evolution

Moving optimum

Small jumps limit

Transience

Recurrence

Résumé

On étudie une équation différentielle stochastique animée par un processus ponctuel de Poisson, qui modélise un changement continu de lénvironnement d'une population et la fixation stochastique de mutations bénéfiques pour compenser ce changement. La probabilité de fixation d'une mutation augmente dès que le retard phénotypique Xₜ entre la population et l'optimum augmente. On suppose que les mutations favorables se fixent instantanément induisant un saut adaptatif. En premier lieu, on a étudié le comportement à long terme de la solution de cette équation sachant qu'on ne considère qu'un seul trait phénotypique de la population et on a trouvé les conditions sous lesquelles Xₜ est récurrent (possibilité de survie) ou transient (extinction inévitable). Ensuite, on a généralisé nos résultats en considérant un vecteur de traits phénotypiques de la population, essentiellement dans ℝ². A la fin, on introduit une limite des petits sauts pour caractériser et comprendre le cas récurrent.

We study a stochastic differential equation driven by a Poisson point process, which models continuous changes in a population's environment, as well as the stochastic fixation of beneficial mutations that might compensate for this change. The fixation probability of a given mutation increases as the phenotypic lag Xₜ between the population and the optimum grows larger, and successful mutations are assumed to fix instantaneously (leading to an adaptive jump). First, we study the large time behavior of the solution of this SDE taking into consideration one phenotypic trait of the population and we find the conditions under which Xₜ is recurrent (possibility of survival) or transient (doomed to exctinction).Then we generalize our results to the case of a phenotypic traits vector, essentially in ℝ². Finally, we introduce a small jumps limit to characterize and understand the recurrent case.