Etude mathématique de problèmes inverses non autonomes de types hyperbolique et quantique

par Ibtissem Ben Aicha

Thèse de doctorat en Mathematiques

Sous la direction de Eric Soccorsi et de Mourad Bellassoued.

Soutenue le 20-12-2016

à Aix-Marseille en cotutelle avec Faculté des sciences de Bizerte (Tunisie) et l'Université de Carthage (Tunisie) , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) , en partenariat avec École nationale d'ingénieurs de Tunis (Tunisie) (laboratoire) .

Le président du jury était Otared Kavian.

Le jury était composé de Moez Khenissi, Muriel Boulakia.

Les rapporteurs étaient Maher Moakher.

mots clés

• Stabilité
• Estimations
• Ondes
• Schrödinger
• Magnetique
• Électrique
• Borné
• Schrödinger, Équation de
• Équations d'onde
• Neumann, Problème de
• Optique géométrique
• Carleman, Méthode de

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de problèmes inverses associés à des équations aux dérivées partielles hyperboliques et de type Schrödinger.La première partie de la thèse est consacrée à l’étude de problèmes inverses pour l’équation des ondes. Il s’agit d’examiner les propriétés de stabilité et d’unicité dans l’identification de certains coefficients apparaissant dans l’équation des ondes, à partir de différents types d’observation.La deuxième partie de cette thèse, traite du problème de l’identification du champ magnétique et du potentiel électrique apparaissant dans l’équation du Schrödinger. Nous prouvons que ces coefficients peuvent être déterminés de façon stable dans tout le domaine, à partir de données de type Neumann. La dérivation de ces résultats est basée sur la construction d’un ensemble de solutions de type optique géométrique, adaptées au système étudié. Il existe une méthode alternative pour l’analyse de ce type de problèmes inverses, celle de Bukhgeim-Klibanov, qui utilise une estimation de Carleman spécifique à l’opérateur con-sidéré. Elle nous a permis de montrer qu’il est possible de récupérer de façon stable et simultanée, la partie spatiale des potentiels électrique et magnétique de l’équation de Schrödinger magnétique, à partir d’un nombre fini de mesures partielles de la solution.

mots clés

• Stability
• Estimates
• Wave
• Schrödinger
• Time-Dependent
• Electric
• Megnetic
• Bounded

Titre traduit

Inverse coefficients problems for non-autonomous wave and magnetic Schrödinger equations

Résumé

This thesis is devoted to the study of inverse problems associated to hyperbolic and Schrödinger equations. The first part of the thesis is devoted to the study of inverse problemsfor the wave equation. The aim is to examine the stability andthe uniqueness issues in the identification of certain coefficients appearing in the wave equation from different types of observation. The second part of this thesis deals with the problem of the identification of a magnetic field and an electric potential appearing in the Schrödinger equation. We prove that these coefficients can be stably determined throughout the domain, using Neumann data. The derivation of these results is based on the construction of a set of geometric optics solutions adapted to the system studied. There is an alternative method for the analysis of this type of inverse problem, which is due to Bukhgeim-Klibanov, and which uses a Carleman estimate. We show that it is possible to stably and simultaneously recover the spatial part of the electrical and magnetic potentialsappearing in the magnetic Schrödinger equation, from a finite number of measurements.