Estimation non paramétrique de la fonction de dépendance des distributions multivariées à valeurs extrêmes

Nonparametric estimation of the dependence function for multivariate extreme value distributions

• Auteur / Autrice : Samia Ayari
• Direction : Mohamed Boutahar, Abdelwahed Trabelsi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/12/2016
• Etablissement(s) : Aix-Marseille en cotutelle avec Université de Tunis. Institut supérieur de gestion (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Denys Pommeret
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abdelwahed Trabelsi, Jamel Jouini
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Chokri Slim, Jean-Marc Bardet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monte-Carlo, Méthode de

Variables aléatoires

Processus stationnaires

Valeurs extrêmes, Théorie des

Mots clés libres

Valeurs extrêmes

Copules à valeurs extrêmes

Fonction de dépendance

Estimation non paramétrique

Simulation Monte Carlo

Estimateur de Pickands

Processus stationnaires

Pollution d’air

Modélisation de la structure de dépendance de l’ozone

Extreme values

Extreme values copulas

Dependence function

Nonparametric estimation

Monte Carlo simulation

Pickands estimator

Stationary processes

Air pollution

Ozone dependence structure modeling

Résumé

Dans cette thèse, nous abordons l'estimation non paramétrique de la fonction de dépendance des distributions multivariées à valeurs extrêmes. Dans une première partie, on adopte l’hypothèse classique stipulant que les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d). Plusieurs estimateurs non paramétriques sont comparés pour une fonction de dépendance trivariée de type logistique dans deux différents cas. Dans le premier cas, on suppose que les fonctions marginales sont des distributions généralisées à valeurs extrêmes. La distribution marginale est remplacée par la fonction de répartition empirique dans le deuxième cas. Les résultats des simulations Monte Carlo montrent que l'estimateur Gudendorf-Segers (Gudendorf et Segers, 2011) est plus efficient que les autres estimateurs pour différentes tailles de l’échantillon. Dans une deuxième partie, on ignore l’hypothèse i.i.d vue qu’elle n'est pas vérifiée dans l'analyse des séries temporelles. Dans le cadre univarié, on examine le comportement extrêmal d'un modèle autorégressif Gaussien stationnaire. Dans le cadre multivarié, on développe un nouveau théorème qui porte sur la convergence asymptotique de l'estimateur de Pickands vers la fonction de dépendance théorique. Ce fondement théorique est vérifié empiriquement dans les cas d’indépendance et de dépendance asymptotique. Dans la dernière partie de la thèse, l'estimateur Gudendorf-Segers est utilisé pour modéliser la structure de dépendance des concentrations extrêmes d’ozone observées dans les stations qui enregistrent des dépassements de la valeur guide et limite de la norme Tunisienne de la qualité d'air NT.106.04.

In this thesis, we investigate the nonparametric estimation of the dependence function for multivariate extreme value distributions. Firstly, we assume independent and identically distributed random variables (i.i.d). Several nonparametric estimators are compared for a trivariate dependence function of logistic type in two different cases. In a first analysis, we suppose that marginal functions are generalized extreme value distributions. In a second investigation, we substitute the marginal function by the empirical distribution function. Monte Carlo simulations show that the Gudendorf-Segers (Gudendorf and Segers, 2011) estimator outperforms the other estimators for different sample sizes. Secondly, we drop the i.i.d assumption as it’s not verified in time series analysis. Considering the univariate framework, we examine the extremal behavior of a stationary Gaussian autoregressive process. In the multivariate setting, we prove the asymptotic consistency of the Pickands dependence function estimator. This theoretical finding is confirmed by empirical investigations in the asymptotic independence case as well as the asymptotic dependence case. Finally, the Gudendorf-Segers estimator is used to model the dependence structure of extreme ozone concentrations in locations that record several exceedances for both guideline and limit values of the Tunisian air quality standard NT.106.04.