Analyse multifractale de mesures faiblement Gibbs aléatoires et de leurs inverses

Multifractal analysis of random weak Gibbs measures and their inverse

• Auteur / Autrice : Zhihui Yuan
• Direction : Julien Barral
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2015
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Sorbonne Paris Nord (Bobigny, Villetaneuse, Seine-Saint-Denis ; 1970-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Peyrière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Henry de Thélin, Ai-Hua Fan, Volker Mayer, Stéphane Seuret
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Wen Huang, Mariusz Urbanski

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques aléatoires

Gibbs, Mesures de

Formalisme (mathématiques)

Multifractales

Dimension, Théorie de la (topologie)

Hausdorff, Mesures de

Mots clés libres

Théorie métrique de l’approximation

Mesures inverses

Metric approximation theory

Inverse measures

Résumé

Nous montrons la validité du formalisme multifractal pour les mesures aléatoires faiblement Gibbs portées par l’ attracteur associé à une dynamique aléatoire C¹ codée par un sous-shift de type fini aléatoire, et expansive en moyenne. Nous établissons également des loi de type 0-∞ pour les mesures de Hausdorff et de packing généralisées des ensembles de niveau de la dimension locale, et calculons les dimensions de Hausdorff et de packing des ensembles de points en lesquels la dimension inférieure locale et la dimension supérieure locale sont prescrites. Lorsque l’attracteur est un ensemble de Cantor de mesure de Lebesgue nulle, nous montrons la validité du formalisme multifractal pour les mesures discrètes obtenues comme inverses de ces mesures faiblement Gibbs.

We establish the validity of the multifractal formalism for random weak Gibbs measures supported on the attractor associated with a C¹ random dynamics coded by a random subshift of finite type, and expanding in the mean. We also prove a 0-∞ law for the generalized Hausdorff and packing measures of the level sets of the local dimension, and we compute the Hausdorff and packing dimensions of the sets of points at which the lower and upper local dimensions are prescribed. In the case that the attractor is a Cantor set of zero Lebesgue measure, we prove the validity of the multifractal formalism for the discrete measures obtained as inverse of these weak Gibbs measures.