Construction de solutions pour les équations de contraintes en relativité générale et remarques sur le théorème de la masse positive

Construction of solutions to the Einstein constrainit equations in general relativity and comments on the positive mass theorem

• Auteur / Autrice : The-Cang Nguyen
• Direction : Emmanuel Humbert, Romain Gicquaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2015
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques et physique théorique (Tours ; 1996-2017)
• Jury : Président / Présidente : Piotr T. Chruściel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Véron, Erwann Delay
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Piotr T. Chruściel, James Allen Isenberg

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles elliptiques

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Géométrie de Riemann

Riemann, Variétés de

Cauchy, Problème de

Masse (physique)

Einstein, Équations du champ d'

Mots clés libres

Équations d’Einstein

Méthode dite conforme

Théorème de la masse positive

Einstein constraint equations

Non-constant mean curvature

Conformal method

Positive mass theorem

Résumé

Dans cette thèse nous étudions deux problèmes issus de la relativité générale : la construction de données initiales pour le problème de Cauchy des équations d’Einstein et le théorème de la masse positive. Nous construisons tout d’abord des données initiales en utilisant la méthode dite conforme introduite par Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] et Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg– D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a]. Plus particulièrement, nous étudions les équations –de contrainte conforme– qui apparaissent dans cette méthode sur des variétés riemanniennes compactes de dimension n > 3. Dans cette thèse, nous donnons une preuve simplifiée du résultat de [Dahl et al., 2012], puis nous étendons et nous généralisons les théorèmes de M. Holst–G. Nagy–G. Tsogtgerel [Holst et al., 2009] et de D. Maxwell [Maxwell, 2009] dans le cas de données initiales à courbure moyenne fortement nonconstante. Nous donnons au passage un point de vue unifié sur ces résultats. En parallèle, nous donnons des résultats de non-existence et de non-unicité pour les équations de la méthode conforme sous certaines hypothèses.

The aim of this thesis is the study of two topical issues arising from general relativity: finding initial data for the Cauchy problem with respect to the Einstein equations and the positive mass theorem. For the first issue, in the context of the conformal method introduced by Lichnerowicz [Lichnerowicz, 1944], Y. Choquet-Bruhat–J. York [Choquet-Bruhat et York, 1980] and Y. Choquet-Bruhat–J. Isenberg–D. Pollack [Choquet-Bruhat et al., 2007a], we consider the conformal constraint equations on compact Riemannian manifolds of dimension n > 3. In this thesis, we simplify the proof of [Dahl et al., 2012, Theorem 1.1], extend and sharpen the far-from CMC result proven by Holst– Nagy–Tsogtgerel [Holst et al., 2009], Maxwell [Maxwell, 2009] and give an unifying viewpoint of these results. Besides discussing the solvability of the conformal constraint equations, we will also show nonexistence and nonuniqueness results for solutions to the conformal constraint equations under certain assumptions.