Surfaces quantile : propriétés, convergences et applications

Quantile surfaces : properties, convergence and applications

• Auteur / Autrice : Adil Ahidar-Coutrix
• Direction : Philippe Berthet, Thierry Klein
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 03/07/2015
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique

Estimation de paramètres

Mots clés libres

Quantile

Surfaces

Bahadur

Altitudes

Weak convergence

Strong approximation

Kiefer approximation

Depth fields

Empirical process

Résumé

Dans la thèse on introduit et on étudie une généralisation spatiale sur dollar\R^dollar du quantile réel usuel sous la forme d'une surface quantile via des formes dollar \phi dollar et d'un point d'observation dollarOdollar. Notre point de départ est de simplement admettre la subjectivité due à l'absence de relation d'ordre totale dans dollar\R^ddollar et donc de développer une vision locale et directionnelle des données. Ainsi, les observations seront ordonnées du point de vue d'un observateur se trouvant à un point dollarO \in \R^ddollar. Dans le chapitre 2, on introduit la notion du quantile vue d'un observateur dollarOdollar dans la direction dollaru \in \Sddollar et de niveau dollar\alphadollar via des des demi-espaces orthogonaux à chaque direction d'observation. Ce choix de classe implique que les résultats de convergence ne dépendent pas du choix de dollarOdollar. Sous des hypothèses minimales de régularité, l'ensemble des points quantile vue de dollarOdollar définit une surface fermée. Sous hypothèses minimales, on établit pour les surfaces quantile empiriques associées les théorèmes limites uniformément en le niveau de quantile et la direction d'observation, avec vitesses asymptotiques et bornes d'approximation non-asymptotiques. Principalement la LGNU, la LLI, le TCLU, le principe d'invariance fort uniforme puis enfin l'approximation du type Bahadur-Kiefer uniforme, et avec vitesse d'approximation. Dans le chapitre 3, on étend les résultats du chapitre précédent au cas où les formes dollar\phidollar sont prises dans une classe plus générale (fonctions, surfaces, projections géodésiques, etc) que des demi-espaces qui correspondent à des projections orthogonales par direction. Dans ce cadre plus général, les résultats dépendent fortement du choix de dollarOdollar, et c'est ce qui permet de tirer des interprétations statistiques. Dans le chapitre 4, des conséquences méthodologiques en statistique inférentielle sont tirées. Tout d'abord on introduit une nouvelle notion de champ de profondeurs directionnelles baptisée champ d'altitude. Ensuite, on définit une notion de distance entre lois de probabilité, basée sur la comparaison des deux collections de surfaces quantile du type Gini-Lorrentz. La convergence avec vitesse des mesures empiriques pour cette distance quantile, permet de construire différents tests en contrôlant leurs niveaux et leurs puissances. Enfin, on donne une version des résultats dans le cas où une information auxiliaire est disponible sur une ou plusieurs coordonnées sous la forme de la connaissance exacte de la loi sur une partition finie.

The main issue of the thesis is the development of spatial generalizations on dollar\R^ddollar of the usual real quantile. Facing the usual fact that dollar\R^ddollar is not naturally ordered, our idea is to simply admit subjectivity and thus to define a local viewpoint rather than a global one, anchored at some point of reference dollarOdollar and arbitrary shape dollar\phidollar with the motivation of crossing information gathered by changing viewpoint dollarOdollar, shape dollar\phidollar and dollar\alphadollar-th order of quantile. In Chapter 2, we study the spatial quantile points seen from an observer dollarOdollar in a direction dollaru \in \Sddollar of level dollar\alphadollar through the class of the half-spaces orthogonal to the direction dollarudollar. This choice implies that the convergence theorems do not depend on the choice of dollarOdollar. Under minimal regularity assumptions, the set of all quantile points seen from dollarOdollar is a closed surface. Under minimal assumptions, we establish for the associated empirical quantile surfaces the convergence theorems uniformly on the quantile level and the observation direction with the asymptotic speed and non-asymptotic bounds of approximation. Mainly, we establish the ULLN, the ULIL, the UCLT, the uniform strong invariance principle and finally the Bahadur-Kiefer type embedding, with the approximation speed rate. In Chapter 3, all the results of the previous chapter are extended to the case where the shapes dollar \phi dollar are taken in a class more general (functions, surfaces, geodesic projections, etc) than orthogonal projections (half-spaces). In this general setting, the results depend strongly on the choice of dollar O dollar. It is this dependence which permit to draw statistical interpretations: modes detection, mass localization, etc. In Chapter 4, some methodological consequences in inferential statistics are drawn. First we introduce a new concept of directional depth fields called altitude fields. In a second application is defined a new distances between probability distributions, based on the comparison of two collections of quantile surfaces, which are indexes of the type Gini-Lorrentz. The convergence with speed of the empirical quantile measures for these distances, can build different tests with control of their level and their power. A third use of the quantile surfaces is for the case where dollar \alpha = 1/2dollar. Finally, we give a version of our theorems in the case where auxiliary information is available on one or more coordinates of the random variable. By assuming known the probability of the elements of a finite partition, the asymptotic variance of the limiting process decreases and the simulations with few points clearly shows the reframe of the estimated surfaces to the real ones.