Hypersurfaces Levi-plates et leur complément dans les surfaces complexes

Levi-flat hypersurfaces and their complement in complex surfaces

• Auteur / Autrice : Carolina Canales Gonzalez
• Direction : Bertrand Deroin, Christophe Dupont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 14/12/2015
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Julien Duval
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bertrand Deroin, Christophe Dupont, Julien Duval, Julie Déserti, Joël Merker, Andrei Iordan
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Julie Déserti, Jorge Vitório Pereira

Mots clés

Mots clés contrôlés

Stein, Variétés de

Feuilletages (mathématiques)

Fonctions de plusieurs variables complexes

Mots clés libres

Analyse et géométrie complexes

Théorie des feuilletages

Hypersurfaces Levi-Plates

Mesure transverse invariante

Variété Stein

Prolongement analytique

Complex analysis and complex geometry

Theory of foliations

Levi-Flat hypersurfaces

Invariant measure

Stein manifold

Analytic extension

Résumé

Dans ce mémoire nous étudions les hypersurfaces Levi-plates analytiques dans les surfaces algébriques complexes. Il s'agit des hypersurfaces réelles qui admettent un feuilletage par des courbes holomorphes, appelé le feuilletage de Cauchy Riemann (CR). Dans un premier temps nous montrons que si ce dernier admet une dynamique chaotique (i.e. s'il n'admet pas de mesure transverse invariante) alors les composantes connexes de l'extérieur de l'hypersurface sont des modifications de domaines de Stein. Ceci permet d'étendre le feuilletage CR en un feuilletage algébrique singulier sur la surface complexe ambiante. Nous appliquons ce résultat pour montrer, par l'absurde, qu'une hypersurface Levi-plate analytique qui admet une structure affine transverse dans une surface algébrique complexe possède une mesure transverse invariante. Ceci nous amène à conjecturer que les hypersurfaces Levi-plates dans les surfaces algébriques complexes qui sont difféomorphes à un fibré hyperbolique en tores sur le cercle sont des fibrations par courbes algébriques.

In this work we study analytic Levi-flat hypersurfaces in complex algebraic surfaces. These are real hypersurfaces that admit a foliation by holomorphic curves, called Cauchy Riemann foliation (CR). First, we show that if this foliation admits chaotic dynamics (i.e. if it doesn't admit an invariant transverse measure), then the connected components of the complement of the hypersurface are Stein. This allows us to extend the CR foliation to a singular algebraic foliation on the ambient complex surface. We apply this result to prove, by contradiction, that analytic Levi-flat hypersurfaces admitting a transverse affine structure in a complex algebraic surface have a transverse invariant measure. This leads us to conjecture that Levi-flat hypersurfaces in complex algebraic surfaces that are diffeomorphic to a hyperbolic tori bundle over the circle are fibrations by algebraic curves.