Coupe et reconstruction d'arbres et de cartes aléatoires

Cutting and rebuilding random trees and maps

• Auteur / Autrice : Daphné Dieuleveut
• Direction : Yves Le Jan, Grégory Miermont
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 10/12/2015
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Yves Le Jan, Grégory Miermont, Bénédicte Haas, Jean-François Marckert, Nicolas Broutin, Nicolas Curien
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-François Marckert, Anton Wakolbinger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus autosimilaires

Graphes aléatoires

Arbres (théorie des graphes)

Mots clés libres

Arbre brownien

Arbre stable

Fragmentation autosimilaire

Quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ)

Arbre de Galton-Watson

Arbre des coupes

Limite d'échelle

Limite locale

Brownian tree

Stable tree

Self-similar fragmentation

Uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ)

Galton-Watson tree

Cut-tree

Scaling limit

Local limit

Résumé

Cette thèse se divise en deux parties. Nous nous intéressons dans un premier temps à des fragmentations d'arbres aléatoires, et aux arbres des coupes associés. Dans le cadre discret, les modèles étudiés sont des arbres de Galton-Watson, fragmentés en enlevant successivement des arêtes choisies au hasard. Nous étudions également leurs analogues continus, l'arbre brownien et les arbres stables, que l'on fragmente en supprimant des points donnés par des processus ponctuels de Poisson. L'arbre des coupes associé à l'un de ces processus, discret ou continu, décrit la généalogie des composantes connexes créées au fur et à mesure de la dislocation. Pour une fragmentation qui se concentre autour de nœuds de grand degré, nous montrons que l'arbre des coupes continu est la limite d'échelle des arbres des coupes discrets correspondants. Dans les cas brownien et stable, nous montrons également que l'on peut reconstruire l'arbre initial à partir de son arbre des coupes et d'un étiquetage bien choisi de ses points de branchement. Nous étudions ensuite un problème portant sur les cartes aléatoires, et plus précisément sur la quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ). De récents résultats montrent que dans l'UIPQ, toutes les géodésiques infinies issues de la racine sont essentiellement similaires. Nous déterminons la quadrangulation limite obtenue en ré-enracinant l'UIPQ ''à l'infini'' sur de l'une de ces géodésiques. Cette étude se fait en découpant l'UIPQ le long de cette géodésique. Nous étudions les deux parties ainsi créées via une correspondance avec des arbres discrets, puis nous obtenons la limite souhaitée par recollement.

This PhD thesis is divided into two parts. First, we study some fragmentations of random trees and the associated cut-trees. The discrete models we are interested in are Galton-Watson trees, which are cut down by recursively removing random edges. We also consider their continuous counterparts, the Brownian and stable trees, which are fragmented by deleting the atoms of Poisson point processes. For these discrete and continuous models, the associated cut-tree describes the genealogy of the connected components which appear during the cutting procedure. We show that for a ''vertex-fragmentation'', in which the nodes having a large degree are more susceptible to be deleted, the continuous cut-tree is the scaling limit of the corresponding discrete cut-trees. In the Brownian and stable cases, we also give a transformation which rebuilds the initial tree from its cut-tree and a well chosen labeling of its branchpoints. The second part relates to random maps, and more precisely the uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ). Recent results show that in the UIPQ, all infinite geodesic rays originating from the root are essentially similar. We identify the limit quadrangulation obtained by rerooting the UIPQ at a point ''at infinity'' on one of these geodesics. To do this, we split the UIPQ along this geodesic ray. Using a correspondence with discrete trees, we study the two sides, and obtain the desired limit by gluing them back together.