Symétries d'équations aux dérivées partielles, calcul stochastique, applications à la physique mathématique et à la finance

• Auteur / Autrice : Hélène Quintard
• Direction : Paul Lescot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Rouen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime2000-...)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Calcul différentiel

Représentations d'algèbres de Lie

Processus de diffusion

Finances -- Modèles mathématiques

Probabilités

Mots clés libres

Systèmes d'équations aux dérivées partielles

Modèles affines

Processus de Bernstein

Résumé

Les équations différentielles stochastiques sont des outils des mathématiques très utilisés, que ce soit en finance, en physique ou encore en biologie ; ces modèles peuvent être très efficaces pour modéliser de nombreux phénomènes. Afin de mieux comprendre ces équations différentielles stochastiques, on s'intéresse dans cette thèse aux solutions de certaines d'entre elles, appelées processus de Bernstein ou processus de Schrödinger, dont la construction fait apparaître des propriétés liées à l'équation de la chaleur. Deux catégories de résultats sont présentés ici. Des résultats purement liés à l'équation de la chaleur et complètement indépendants du contexte probabiliste, comme par exemple le calcul explicite des flots associés à l'équation de la chaleur pour trois types de potentiels, ou encore la structure de l'algèbre de Lie des symétries de ces équations. D'autres résultats sont liés aux processus stochastiques, on donne ici une paramétrisation des modèles affines de taux d’intérêt à un paramètre (modèles utilisés en finance) par des processus de Bernstein ainsi une condition nécessaire à la paramétrisation des modèles affines en dimension par des processus de Bernstein.

Stochastic differential equations are a powerfull tool of mathematics. Applications range from finance or physics to biology. Those models can be very efficient to modelise numerous phenomenons where uncertainties are involved. In order to have a better understanding of those stochastic differential equations, this work studies the solutions of a subclass, called Bernstein (or Schrödinger) processes. Those processes are linked to the heat equation by construction. Two types of results are presented here. Some are about the heat equation and totally independant from any probabilistic context. For example, we compute the flows associated with the heat equation for three different potential and we study the structure of the Lie algebra of symmetries for those equations. Other results are presented: we show how it is possible to parametrize one factor affine models with Bernstein processes. We also give a necessary condition for the parametrization of -factor affine models with Berntein processes.