Energies de réseaux et calcul variationnel

Lattices energies and variational calculus

• Auteur / Autrice : Laurent Betermin
• Direction : Etienne Sandier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/09/2015
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - LAMA
• Jury : Président / Présidente : Sylvia Serfaty
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Etienne Sandier, Djalil Chafaï, Yuxin Ge
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Florian Theil, Xavier ‎Blanc‎

Mots clés

Mots clés contrôlés

Coulomb, Fonctions de

Cristallisation

Réseaux (mathématiques)

Mots clés libres

Réseaux

Energies

Interaction

Potentiels

Gaz de Coulomb

7ème Problème de Smale

Lattices

Energies

Interaction

Potentials

Coulomb Gases

7th Smale's Problem

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes de minimisation d'énergies discrètes et nous cherchons à comprendre pourquoi une structure périodique peut être un minimiseur pour une énergie d'interaction, c'est ce que l'on appelle un problème de cristallisation. Après avoir montré qu'un réseau de R^d soumis à un certain potentiel paramétré peut être vu comme un minimum local, nous démontrons des résultats d'optimalité du réseau triangulaire parmi les réseaux de Bravais du plan pour certaines énergies par point, avec ou sans densité fixée. Finalement, nous démontrons, à partir des travaux de Sandier et Serfaty sur les gaz de Coulomb bidimensionnels, la conjecture de Rakhmanov-Saff-Zhou, c'est-à-dire l'existence d'un terme d'ordre n dans le développement asymptotique de l'énergie logarithmique optimale pour n points sur la sphère unité de R^3. De plus, nous montrons l'équivalence entre la conjecture de Brauchart-Hardin-Saff portant sur la valeur de ce terme d'ordre n et celle de Sandier-Serfaty sur l'optimalité du réseau triangulaire pour une énergie coulombienne renormalisée

In this thesis, we study minimization problems for discrete energies and we search to understand why a periodic structure can be a minimizer for an interaction energy, that is called a crystallization problem. After showing that a given Bravais lattice of R^d submitted to some parametrized potential can be viewed as a local minimum, we prove that the triangular lattice is optimal, among Bravais lattices of R^2, for some energies per point, with or without a fixed density. Finally, we prove, from Sandier and Serfaty works about 2D Coulomb gases, Rakhmanov-Saff-Zhou conjecture, that is to say the existence of a term of order n in the asymptotic expansion of the optimal logarithmic energy for n points on the 2-sphere. Furthermore, we show the equivalence between Brauchart-Hardin-Saff conjecture about the value of this term of order n and Sandier-Serfaty conjecture about the optimality of triangular lattice for a coulombian renormalized energy