Minimal sets, existence and regularity

par Yangqin Fang

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Guy David.

Le président du jury était Pierre Pansu.

Le jury était composé de Guy David, Pierre Pansu, Séverine Rigot, Filippo Santambrogio, Antoine Lemenant, Simon Masnou.

Les rapporteurs étaient Séverine Rigot.

  • Titre traduit

    Ensembles minimaux, existence et régularité


  • Résumé

    Cette thèse s’intéresse principalement à l’existence et à la régularité desensembles minimaux. On commence par montrer, dans le chapitre 3, que le problème de Plateau étudié par Reifenberg admet au moins une solution. C’est-à-dire que, si l’onse donne un ensemble compact B⊂R^n et un sous-groupe L du groupe d’homologie de Čech H_(d-1) (B;G) de dimension (d-1) sur un groupe abelien G, on montre qu’il existe un ensemble compact E⊃B tel que L est contenu dans le noyau de l’homomorphisme H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induit par l’application d’inclusion B→E, et pour lequel la mesure de Hausdorff H^d (E∖B) est minimale (sous ces contraintes). Ensuite, on montre au chapitre 4, que pour tout ensemble presque minimal glissant E de dimension 2, dans un domaine régulier Σ ressemblant localement à un demi espace, associé à la frontière glissante ∂Σ, et tel que E⊃∂Σ, il se trouve qu’à la frontière E est localement équivalent, par un homéomorphisme biHöldérien qui préserve la frontière, à un cône minimal glissant contenu dans un demi plan Ω, avec frontière glissante ∂Ω. De plus les seuls cônes minimaux possibles dans ce cas sont ∂Ω seul, ou son union avec un cône de type P_+ ou Y_+.


  • Résumé

    This thesis focuses on the existence and regularity of minimal sets. First we show, in Chapter 3, that there exists (at least) a minimizerfor Reifenberg Plateau problems. That is, Given a compact set B⊂R^n, and a subgroup L of the Čech homology group H_(d-1) (B;G) of dimension (d-1)over an abelian group G, we will show that there exists a compact set E⊃B such that L is contained in the kernel of the homomorphism H_(d-1) (B;G)→H_(d-1) (E;G) induced by the natural inclusion map B→E, and such that the Hausdorff measure H^d (E∖B) is minimal under these constraints. Next we will show, in Chapter 4, that if E is a sliding almost minimal set of dimension 2, in a smooth domain Σ that looks locally like a half space, and with sliding boundary , and if in addition E⊃∂Σ, then, near every point of the boundary ∂Σ, E is locally biHölder equivalent to a sliding minimal cone (in a half space Ω, and with sliding boundary ∂Ω). In addition the only possible sliding minimal cones in this case are ∂Ω or the union of ∂Ω with a cone of type P_+ or Y_+.


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